Considere os conjuntos LIs de funções: β 1 =   c o s c o s   x   , s e n x ;   β 2 = ⅇ x , ⅇ 2 x ; β 3 = 1 , x , ⅇ x , x ⋅ ⅇ x ;

β 4 = 1 , x , x 2 ;   β 5 = x   , 2 x   , 3 x   ;

β 6 = ⅇ x , x ⋅ ⅇ x , x 2 ⅇ x

Seja W i =   〈 β 1 〉 (espaço gerado por cada conjunto de funções). Sejam D o operado derivada D f   =   f ’ com D :   W i → W i e D ² o operador derivada segunda D ² f   = f ’ ’ com D ² : W i → W i . Determine a matriz:

  1. [ D ] β 2

Passo 1

“Owraaa diachuuuuu”!!!

Mermão doido! Bora para mais uma questão que é nois na fita pivete!!!

Seguinte, não sei se vocês estão “interados”, mas a questão é “mamão com açúcar” (facim, facim)!!!

Nela precisaremos determinar as derivadas das funções vetoriais e depois produzir a matriz coluna da base β 1 referente a cada termo da derivada.

Se liga que vamos utilizar fazer as associações vetoriais para isso!

Olha o exemplo:

x + 8 = a 2 + b x + c x 2

Logo; a ( 2 )   =   8   ; b x = x e c x ²   =   0 : Assim, a   =   4 ,   b = 1 e c   =   0

É ISSO!

Com tudo nas mãos bora para os cálculos!

Passo 2

Bora lá, primeiro vamos determinar a derivada de   β 2 = ⅇ x , ⅇ 2 x

D 2 =   ⅇ x , 2 ⅇ 2 x

D ⅇ x = ⅇ x e

Analisando,

ⅇ x = a ∙ ⅇ x + b ∙ ⅇ 2 x

De maneira rápida!

a ∙ ⅇ x = ⅇ x → a = 1

b ∙ ⅇ 2 x = 0 → b = 0

Portanto;

[ ⅇ x ] β 2 = 1   0  

Bora pro próximo!!!

D ⅇ 2 x = 2 ⅇ 2 x e

Analisando,

2 ⅇ 2 x = w ∙ ⅇ x + y ∙ ⅇ 2 x

De maneira rápida de novo! w = 0 e y ∙ ⅇ 2 x = 2 ⅇ 2 x , y = 2

Portanto;

[ 2 ⅇ 2 x ] β 2 = 0   2  

Agora junta tudo e é só partir para o abraço

[ D ] β 2 = 1   0   0   2  

É isso galera!

Nos vemos na próxima

Resposta

[ D ] β 2 = 1   0   0   2