Considere os conjuntos LIs de funções: β 1 =   c o s c o s   x   , s e n x ;   β 2 = ⅇ x , ⅇ 2 x ; β 3 = 1 , x , ⅇ x , x ⋅ ⅇ x ;

β 4 = 1 , x , x 2 ;   β 5 = x   , 2 x   , 3 x   ;

β 6 = ⅇ x , x ⋅ ⅇ x , x 2 ⅇ x

Seja W i =   〈 β i 〉 (espaço gerado por cada conjunto de funções). Sejam D o operado derivada D f   =   f ’ com D :   W i → W i e D ² o operador derivada segunda D ² f   = f ’ ’ com D ² : W i → W i . Determine a matriz:

f   [ D ² ] β 6

Passo 1

E ai galera tudo bem com vocês? Bora para mais questão quentinha!!!

Meus lindos!!! Nessa questão precisaremos determinar as derivadas das funções vetoriais e depois produzir a matriz coluna da base β 5   referente a cada termo da derivada.

Se liga que vamos utilizar fazer as associações vetoriais para isso!

Olha o exemplo:

x + 8 = a 2 + b x + c x 2

Logo; a ( 2 )   =   8   ; b x = x e c x ²   =   0 : Assim, a   =   4 ,   b = 1 e c   =   0

É ISSO!

Cuida que acabamos de começar!

Passo 2

Galera primeiro vamos determinar a derivada segunda de β 6 = ⅇ x , x ⋅ ⅇ x , x 2 ⅇ x

D 6 = ⅇ x , ⅇ x + x ⋅ ⅇ x , x 2 ∙ ⅇ x + 2 x ∙ ⅇ x →

D 2 6 = ⅇ x , ⅇ x + ⅇ x + x ⋅ ⅇ x , + 2 ⅇ x + 2 x ∙ ⅇ x + 2 x ∙ ⅇ x + x 2 ∙ ⅇ x

D ² 6 = ⅇ x , 2 ⅇ x + x ⋅ ⅇ x , 2 ⅇ x + 4 x ∙ ⅇ x + x 2 ∙ ⅇ x

Galera o seguinte farei rapidinho os primeiros vetores, mas o último deixarei o passo a passo

[ ⅇ x ] β 6 = 1   0   0  

[ 2 ⅇ x + x ⋅ ⅇ x ] β 6 = 2   1   0  

Agora é o último termo

2 ⅇ x + 4 x ∙ ⅇ x + x 2 ∙ ⅇ x = a ∙ ⅇ x + b ∙ ( x ⅇ x ) + c ∙ x 2 ⅇ x

Vamos fazer as associações

De maneira rápida!

a ∙ ⅇ x = 2 ⅇ x → a = 2

b ∙ ( x ⅇ x ) = 4 x ∙ ⅇ x → b = 4

c ∙ x 2 ⅇ x = x 2 ∙ ⅇ x → c = 1

Portanto

[ 2 ⅇ x + 4 x ∙ ⅇ x + x 2 ∙ ⅇ x ] β 6 = 2   4   1  

Aí fica fácil!!!

Agora junta tudo e joga no mato.... Rsrrsrsrsrsrsr.

Junta tudo e faz a matriz

[ D ² ] β 6 = 1   2   2   0   1   4   0   0   1  

Vamo simbora que depois tem mais!!!

Resposta

[ D ² ] β 6 = 1   2   2   0   1   4   0   0   1