Considere a correspondência existente entre resolver um sistema linear e existência de combinação linear. Considere as opções:

(1) Existe pelo menos duas combinações lineares.

(2) Existe somente uma combinação linear.

(3) Não existe combinação linear.

Corresponde a um sistema:

(a) Sem solução ___;

(b) Com infinitas soluções ___;

(c) Com solução única ___;

Passo 1

Vamos resolver mais esse, pessoal!!!

Sabemos que resolver um sistema linear é equivalente a verificar se o vetor solução é uma combinação linear dos vetores coeficientes. Sendo assim, se existe somente uma combinação linear ou se não existe combinação linear fica claro que o sistema possui solução única ou não possui solução, respectivamente.

Vamos pensar então no caso em que existe pelo menos duas combinações lineares. Para isso, consideramos a representação vetorial de um sistema de m equações e n variáveis:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n = c

Onde x 1 , x 2 , … ,   x n são as variáveis e a 1 , a 2 , … ,   a n ,   c ∈   R m . Sejam x i 1 e x i 2 , para i = 1,2 ,   . . ,   n , os reais que satisfazem a combinação linear, ou seja:

x 1 1 a 1 + x 2 1 a 2 + … + x n 1 = c x 1 2 a 1 + x 2 2 a 2 + … + x n 2 = c

Com x i 1 ≠ x i 2 para pelo menos um i , pois senão as duas combinações seriam iguais. Subtraindo a primeira equação pela segunda obtemos o seguinte:

x 1 1 - x 1 2 a 1 + x 2 1 - x 2 2 a 2 + … + x n 1 - x n 2 a n = 0

Com x i 1 - x i 2 ≠ 0 para algum valor de i . Supomos que x k 1 - x k 2 ≠ 0 , para 1 ≤ k ≤ n , sendo assim, a k é uma combinação linear dos vetores a i , para i = 1,2 ,   … n , i ≠ k . Dessa forma, para qualquer valor que a variável x k assumir, podemos encontrar valores x i , para i = 1,2 ,   … ,   n , i ≠ k , tais que:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + … + x k a k + … + x n a n = c

Logo, temos infinitas combinações lineares, e, portanto, o sistema linear possui infinitas soluções.

Agora, podemos fazer as correspondências do exercício!!!

Passo 2

(1) Existe pelo menos duas combinações lineares.

(2) Existe somente uma combinação linear.

(3) Não existe combinação linear.

Corresponde a um sistema:

(a) Sem solução 3;

(b) Com infinitas soluções 1;

(c) Com solução única 2;

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)