Considere a correspondência existente entre resolver um sistema linear e existência de combinação linear. Considere as opções:
(1) Existe pelo menos duas combinações lineares.
(2) Existe somente uma combinação linear.
(3) Não existe combinação linear.
Corresponde a um sistema:
(a) Sem solução ___;
(b) Com infinitas soluções ___;
(c) Com solução única ___;
Passo 1
Vamos resolver mais esse, pessoal!!!
Sabemos que resolver um sistema linear é equivalente a verificar se o vetor solução é uma combinação linear dos vetores coeficientes. Sendo assim, se existe somente uma combinação linear ou se não existe combinação linear fica claro que o sistema possui solução única ou não possui solução, respectivamente.
Vamos pensar então no caso em que existe pelo menos duas combinações lineares. Para isso, consideramos a representação vetorial de um sistema de m equações e n variáveis:
Onde são as variáveis e . Sejam e , para , os reais que satisfazem a combinação linear, ou seja:
Com para pelo menos um , pois senão as duas combinações seriam iguais. Subtraindo a primeira equação pela segunda obtemos o seguinte:
Com para algum valor de . Supomos que , para , sendo assim, é uma combinação linear dos vetores , para , . Dessa forma, para qualquer valor que a variável assumir, podemos encontrar valores , para , , tais que:
Logo, temos infinitas combinações lineares, e, portanto, o sistema linear possui infinitas soluções.
Agora, podemos fazer as correspondências do exercício!!!
Passo 2
(1) Existe pelo menos duas combinações lineares.
(2) Existe somente uma combinação linear.
(3) Não existe combinação linear.
Corresponde a um sistema:
(a) Sem solução 3;
(b) Com infinitas soluções 1;
(c) Com solução única 2;
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)