Considere T : R 2 → R 2 dada na base canônica por 2 1 0 - 1

  1. Ache u e v não-nulos tais que T u   =   2 u e T v   =   - v
  2. Prove que β = u , v é base de R 2
  3. Determine [ T ] β ← β . Note que nesta base matriz que representa é mais simples (diagonal)

Passo 1

  1. Ache u e v não-nulos tais que T u   =   2 u e T v   =   - v
  2. Bora lá pessoal, para fazer essa devemos admitir que nossa base é u = x , y

    Como T está na base canônica no R 2 2 1 0 - 1 , podemos admitir tranquilo que

    T 1 , 0 = 2 ,   0     e   T 0 ,   1 = 1 ,   - 1

    Daí faremos as combinações necessárias e partir para o abraço para esse item

    u = x , y = x 1 ,   0 + y 0,1

    Aplicando, as transformações necessárias

    T u = T x , y = x T 1 ,   0 + y T 0,1

    Substituindo,

    T u = T x , y = x 2,0 + y 1 , - 1

    T u = 2 x , 0 + y , - y

    T u = 2 x + y , - y

    Vish... agora melhorou! basta utilizar os valores que foram dados na questão

    T u   =   2 u

    2 x + y , - y = 2 x , 2 y

    Eita! agora faremos o sistema.

    2 x + y = 2 x - y = 2 y 2 x = 2 x y = 0

    Podemos perceber que u admite qualquer valor de x   =   0 e y   =   0 , porém, do enunciado o vetor é não-nulo, portanto, vamos dizer que u = 1 0 .

    Passo 2

    Agora vamos encontrar o vetor v , para isso vamos admitir que v = ( k , w ) , e de maneira análoga do passo 1

    T 1 , 0 = 2 ,   0     e   T 0 ,   1 = 1 ,   - 1

    Daí faremos as combinações necessárias e partir para o abraço para esse item

    T v = 2 k + w , - w

    Basta utilizar de novo os valores que foram dados na questão

    T v   =   - v

    2 k + w , - w = - k , - w

    Eita! agora faremos o sistema.

    2 k + w = - k - w = - w

    Logo, podemos perceber que pela primeira equação, w   =   -   3 k . Assim, pelo vetor

    v = k , w = k , - 3 k = k 1 , - 3

    Portanto, trata-se dum sistema indeterminado onde ∀ k ∈ R ² , existem infinitos vetores ∈ R ² . entretanto vamos admitir v = 1 - 3 .

    Passo 3

  3. Prove que β = u , v é base de R 2
  4. Sendo β = ( 1 ,   0 ) , ( 1 ,   - 3 ) basta provar se são vetores LI, uma vez percebendo que não são vetores múltiplos um do outro, podem ser caracterizados como sendo base no R 2

    Passo 4

  5. Determine [ T ] β ← β . Note que nesta base matriz que representa é mais simples (diagonal).

Galera tá quase acabando!

Para esse item devemos utilizar T u = 2 x + y , - y e faremos a transformação para a base β   = 1 ,   0 ;     1 ; -   3

Assim,

T 1 ,   0 = 2 ∙ 1 + 1 ∙ 0 ; 0 ∙ 0 - 0 ∙ - 3 = ( 2 ; 0 )

T 1 ,   - 3 = 2 ∙ 1 + 1 ∙ - 3 ; 0 ∙ 0 - 1 ∙ - 3 = ( - 1 ; 3 )

Assim, [ T ] β = 2 - 1 0 3

Então, devemos determinar

rimeiro faremos o seguinte, é importante notar que o item deixou a base ε para isso vamos ter que adotar como sendo uma base canônica β   = 1 ,   0 ;     1 ; -   3 .

Então para descobrir   T ε   ← β onde é a matriz mudança de base   β para β , como os elementos podemos extrair os elementos que são vetores de base β

I u 1 = [ I 1 ,   0 ] , I u 2 = [ I 1 ; -   3 ]

Agora devemos determinar T β   ← β que representa a mudança de base para β   = 1 ,   0 ;     1 ; -   3

[ I ( u 1 ) ] β   = I 1 ,   0 = a   1 ,   0 + b 1 ; -   3

1 ,   0 = a + b ; - 3 b

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

a + b = 1 - 3 b = 0

De uma maneira rápida obtemos a   =   1 , b =   0

Fazendo o mesmo procedimento para I u 2 = [ I   1 ; -   3 ]

[ I ( u 2 ) ] β   = I 1 ; -   3 = e   1 ,   0 + f 1 ; -   3

1 ; -   3 = e + f ; - 3 f

Logo, podemos determinar os valores dos elementos da matriz a e b , através do sistema retirado dos vetores;

e + f = 1 - 3 f = - 3

Daí devemos repetir o mesmo procedimento para obtermos a e   =   2 , f =   1

I ε   ← β = 1 0 1 0 1 - 1 0 - 1 0

Agora para de terminar a sua inversa basta utilizar a [ I ] β   ← ε - 1 , basta utilizar o Corolário 4.54 (inversa da mudança de base) onde poderemos encontrar os suas inversas, para isso Considerando as bases   β e ε de U e a TL identidade I em U . Então a matriz mudança de base I ε ← β é igual a [ I ] β   ← ε - 1 (inversa).

Assim se utilizarmos os mesmos procedimentos teremos a matriz

[ I ] β   ← ε - 1 = 1 1 1 0 0 - 1 0 - 1 - 1

Então é isso galera! Nos vemos na próxima

Resposta

I ε   ← β = 1 0 1 0 1 - 1 0 - 1 0

I   β ← ε   = 1 1 1 0 0 - 1 0 - 1 - 1