Considere beta_2 = {1 , 1 - x , x^2 - 1} . Determine:

a. [q]_beta_2 onde q (x) = x^2 - x ;

b. [p]_beta_2 onde p (x) = x^2 + x + 1

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão dado que beta_2 = {1 , 1 - x , x^2 - 1} temos que encontrar [q]_beta_2 onde q (x) = x^2 - x ; e [p]_beta_2 onde p (x) = x^2 + x + 1

E antes de resolvermos as duas opções vamos ter que nos lembrar de matriz da coordenada que equivale,

[v]_beta_b = [alpha_1 alpha_2 alpha_3 vdots alpha_n] in M_n x 1

Em que v -> M_n x 1 = associa a cada vetor suas coordenadas beta e v -> [v]_beta

A partir disso vamos ter que na letra (a) temos,

[q]_beta_2 q (x) = x^2 - x beta_2 = {1 , 1 - x , x^2 - 1}

x^2 - x = a (1) , b (1 - x) , c ( x^2 - 1 )

x^2 - x = a + b - b x + c x - c

(a + b + c) x 0 + b x + c x^2

b x = - x -> b = - 1

x^2 = c x^2 -> c = 1

(a + b + c) x 0 = 0 -> a = 0

[q]_beta_2 = [0 1 1]

Passo 2

Já na letra (b)

[p]_beta_2 p (x) = x^2 + x + 1 que beta_2 = {1 , 1 - x , x^2 - 1}

x^2 + x + 1 = a (1) + b (1 - x) + c ( x^2 - 1 )

x^2 + x + 1 = a + b - b x + c x^2 - c

- b x = x -> b = - 1

c x^2 = x^2 -> c = 1

a + b - c = 1 -> a - 1 - 1 = 1 -> a = 3

Com isso, vamos chegar em uma matriz que vai valer

[p]_beta_2 = [3 - 1 1]

Resposta

[p]_beta_2 = [3 - 1 1]