9. Considere uma elipse de centro C = ( x 0 , y 0 ) , eixos paralelos (respectivamente) aos eixos coordenados, focos F 1 , F 2 , com F 1 F 2 ̄ | | O x (figura (a)). Usando o exercício anterior, mostre que uma equação da elipse é

( x   -   x 0 ) 2 a 2 + ( y   -   y 0 ) 2 b 2 = 1 ,

onde a e b são as medidas dos semieixos maior e menor, respectivamente, e a distância focal é

2 c = 2 a 2 - b 2 .

Sugestão: Tome um sistema de coordenadas auxiliar como se mostra na figura ( b ) . Neste sistema vale

X 2 a 2 + Y 2 b 2 = 1 .

Nota: É claro que se os focos são tais que F 1 F 2 ̄ | | O y (figura (c)) então se chega a

( x   -   x 0 ) 2 b 2 + ( y   -   y 0 ) 2 a 2 = 1 .

Passo 1

Fala, pessoal! Aqui nós vamos seguir exatamente a sugestão do livro. Vamos usar a figura ( b ) e o sistema desenhado nela. Nessa figura, a elipse está centrado na origem do sistema, então

X 2 a 2 + Y 2 b 2 = 1

como o próprio enunciado falou. Mas, se você lembrar do exercício anterior, nós temos

X = x - x 0

Y = y - y 0

Então, substituindo na equação da elipse, nós ficamos com

( x - x 0 ) 2 a 2 + ( y - y 0 ) 2 b 2 = 1

Passo 2

Agora, vamos calcular a distância focal. No sistema S ' , os focos estão em ( - C , 0 ) ,   ( C , 0 ) e vale

b 2 + C 2 = a 2

porque a elipse é dada por X 2 a 2 + Y 2 b 2 = 1 . No sistema S , temos ( c 1 , y 0 ) ,   ( c 2 , y 0 ) como focos. Vamos usar novamente as relações da questão anterior

- C = c 1 - x 0 ,   C = c 2 - x 0

⇒ 2 c = c 2 - c 1 = x 0 + C - ( x 0 - C ) = 2 C

Então, a distância focal é a mesma nos dois sistema, c = C e vale

b 2 + c 2 = a 2 ⇒ c 2 = a 2 - b 2 ⇒ c = a 2 - b 2 ⇒ 2 c = 2 a 2 - b 2

Resposta

Veja a resolução acima.