9. Considere uma elipse de centro , eixos paralelos (respectivamente) aos eixos coordenados, focos , , com (figura (a)). Usando o exercício anterior, mostre que uma equação da elipse é
onde e são as medidas dos semieixos maior e menor, respectivamente, e a distância focal é
.
Sugestão: Tome um sistema de coordenadas auxiliar como se mostra na figura . Neste sistema vale
.
Nota: É claro que se os focos são tais que (figura (c)) então se chega a
.
Passo 1
Fala, pessoal! Aqui nós vamos seguir exatamente a sugestão do livro. Vamos usar a figura e o sistema desenhado nela. Nessa figura, a elipse está centrado na origem do sistema, então
como o próprio enunciado falou. Mas, se você lembrar do exercício anterior, nós temos
Então, substituindo na equação da elipse, nós ficamos com
Passo 2
Agora, vamos calcular a distância focal. No sistema , os focos estão em e vale
porque a elipse é dada por . No sistema , temos como focos. Vamos usar novamente as relações da questão anterior
Então, a distância focal é a mesma nos dois sistema, e vale
Resposta
Veja a resolução acima.