Considere os ideais I =   < x , 2 x + 1 > e     J = < x , 5 x + 2 > em Z [ x ] . Mostre que I é principal, mas J não é. Algum deles é maximal? Justifique.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi considerando os ideais I =   < x , 2 x + 1 > e     J = < x , 5 x + 2 > em Z [ x ] . Mostre que I é principal, mas J não é. Algum deles é maximal? Justifique.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha, sendo que foi considerado que,

I =   < x , 2 x + 1 > e     J = < x , 5 x + 2 >

Para mostrarmos que I é o principal e J não termos que seu anel fatorial deve ser definido por,

f ∈ A x ,   f ≠ 0

Podendo ser determinada com I = J que fica,

2 x + 1 = 5 x + 2

Logo determinando o valor de x ,

2 x - 5 x = 2 - 1

- 3 x = 1

x = - 1 3

c o m ,   x ≠ 0

A partir daí determinando esses valores em I   e   J temos

I = < - 1 3 , 1 3 >     e       J = < - 1 3 , 1 3 >  

Sendo elas iguais I é a principal pelo determinante x e nenhum deles sendo maximal.

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

I = < - 1 3 , 1 3 >     e       J = < - 1 3 , 1 3 >  

Sendo elas iguais I é a principal pelo determinante x e nenhum deles sendo maximal.