Considere a matriz (em blocos) M = X I A 0 , com A ,   X quadradas e I a matriz identidade, todas de mesmo tamanho. Prove que det ⁡ ( M ) = det ⁡ ( A ) .

Passo 1

Falaaa, galeraaa!

Primeiramente, vamos identificar a matriz. Temos que:

M = X I A 0

det ⁡ ( M ) = det ⁡ X ∙ 0 - det ⁡ A det ⁡ ( I )

det ⁡ ( M ) = - det ⁡ A det ⁡ ( I )

det ⁡ ( M ) = - det ⁡ A

Passo 2

Agora vamos trocar as linhas debaixo com as linhas de cima da matriz. Neste caso, a troca de linhas resulta em troca do sinal do determinante, mas o valor será o mesmo. Observe:

M = A 0 X I

O determinante será:

det ⁡ ( M ) = det ⁡ A det ⁡ ( I ) - det ⁡ X ∙ 0

det ⁡ ( M ) = det ⁡ A det ⁡ ( I )

det ⁡ ( M ) = det ⁡ A

Observe que todas as matrizes que compõem M   possuem o mesmo tamanho, logo o sinal final será o mesmo.

Até mais!

Resposta

Para provar, basta trocar as linhas de baixo com as de cima e obter o determinante da nova matriz que é a mesma da matriz anterior, somente troca o sinal.