Considere   B uma matriz 3 × 3 cujas entradas você desconhece.

a. Qual o menor número de zeros que devemos colocar nas entradas de B para garantir

que det ⁡ B   =   0 ? Onde devem ser colocados?

b. E para uma matriz n × n ?

Passo 1

Faaala, galeraaa!

Bom, para garantir que o determinante de uma matriz seja nulo, devemos ter uma linha ou coluna inteira de zeros. Esse raciocínio será usado em ambas as perguntas das questões.

Passo 2

Letra a:

Como vimos no passo 1, como a matriz é 3 × 3 , devemos ter no mínimo 3 elementos nulos dispostos em uma mesma linha ou coluna. Como mostra os exemplos abaixo:

Exemplo 1: L 3 composta por zeros

B = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 0 0 0

det ⁡ ( B ) = 0

Exemplo 1: C 2 composta por zeros

B = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 0 a 13 a 21 0 a 23 a 31 0 a 33

det ⁡ ( B ) = 0

Logo, a resposta é 3 em uma mesma coluna ou linha.

Passo 3

Observe a matriz n × n abaixo.

a 11 a 12 a 21 a 22 a 13 a 1 n … a 2 n ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋱ ⋮ … a n n

Devemos usar o mesmo raciocínio dos passos anteriores. Podemos zerar qualquer linha ou coluna da matriz que obteremos o determinante nulo. Como vemos no exemplo abaixo.

det ⁡ a 11 a 12 a 21 a 22 a 13 a 1 n … a 2 n ⋮ ⋮ 0 0 ⋱ ⋮ … 0 = 0

Logo, para uma matriz de ordem n × n , devemos ter uma coluna ou linha de zeros preenchida completamente com n elementos.

Até a próxima!

Resposta

a. Devemos ter 3 zeros em uma mesma coluna ou linha.

b. Devemos ter n zeros em uma mesma coluna ou linha.