Considere M = A B C D , com A ,   B ,   C e   D matrizes quadradas 2 × 2 . Dê um exemplo que mostre que nem sempre det ⁡ ( M ) = det ⁡ ( A ) det ⁡ ( D ) - det ⁡ B det ⁡ ( C ) .

Passo 1

E aí, galeraaa? Vamos resolver essa questão?

Considere A = D = I = 1 0 0 1 , B = 0 1 0 0 e C = 0 0 1 0 .

A matriz   M será:

M = A B C D = 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

Passo 2

Note que a 1ª linha da matriz M é igual a 4ª linha, então ao subtrair a última da primeira, temos:

M ( L 4 - L 2 ) = 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Calculando o determinante temos:

det ⁡ ( M ) = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 = 0

Passo 3

Vamos agora calcular o determinante de cada bloco.

det ⁡ ( A ) = det ⁡ ( D ) = det ⁡ ( I ) = 1 ∙ 1 = 1

det ⁡ ( B ) = 0 ∙ 0 - 0 ∙ 1 = 0

det ⁡ ( C ) = 0 ∙ 0 - 1 ∙ 0 = 0

Passo 4

Por fim, temos então que:

det ⁡ ( M ) ≠ det ⁡ ( A ) det ⁡ ( D ) - det ⁡ B det ⁡ ( C )

0 ≠ 1 ∙ 1 - 0 ∙ 0

0 ≠ 1

Até mais!

Resposta

M = A B C D = 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1