Considere T : C ∞ R   ;   R →   C ∞ R   ;   R , definida por T f = f ' ' . Determine o autovalor associado a:

  1. e - x ;
  2. s e n ( x ) ;
  3. c o s c o s   ( - 3 x )  

Passo 1

Eu sei eu sei que parece uma questão complexa, mas se a gente perceber que o comando tá pedindo LITERALMENTE para derivar duas vezes as equações dadas e o autovalor vai ser o número antes da função, acredita que é só isso?? Chocado(a)? Olha só:

a) Se T f ' = ( e - x ) ' = - e - x         →           T f ' ' = ( - e - x ) ' = e - x  

Ou seja, segunda derivada é igual a equação original, assim: T f ' ' = 1 f . Portanto, 1 é o autovalor da equação!!

Passo 2

Para resolver as próximas letras, basta repetir do mesmo processo da letra A:

b) Se T f ' = s e n x ' = c o s c o s   x         →         T f ' ' = c o s c o s   x   ' = - s e n ( x )

Ou seja, segunda derivada é igual à negativa da equação original, assim: T f ' ' = - 1 f . Portanto, -1 é o autovalor da equação!!

Passo 3

c) Se T f ' = c o s ⁡ ( - 3 x ) ' = - 3   s e n 3 x     →         T f ' ' = - 3   s e n 3 x ' = - 9 c o s ⁡ ( 3 x )

Ou seja, segunda derivada é igual à -9 vezes a equação original, assim: T f ' ' = - 9 f . Portanto, -9 é o autovalor da equação!!

Resposta

  1. 1 ; b) -1 ; c) -9