Considere T :   P 2 →   P 2 definido por T   a x 2 + b x + c = c x 2 + b x + a . Determine os autovalores e auto-espaços de T.

Passo 1

Opa mais uma questão delicinha de fácil!!

O primeiro passo é entender o comando, aqui nós temos uma transformação linear entre polinômios do segundo grau com base canônica C = x 2 , x , 1 , portanto, os autovalores de T são as raízes do polinômio característico p λ = d e t ⁡ ( T - λ I ) .

A ideia é transformar c x 2 + b x + a em uma matriz, sendo que cada linha pertence a um termo da base canônica e cada coluna deve ter a,b ou c. Parece difícil, mas olha só:

Portanto, λ = 1 é um autovalor da matriz

Passo 2

Para encontrarmos o autoespaço relativo a λ = 1 é V 1 = N u c ( T - 1 I d ) , logo a lei de T - 1 I d é:

= T a x 2 + b x + c - 1 a x 2 + b x + c = ( c x 2 + b x + a - a x 2 + b x + c = c - a x 2 + a - c

Logo, V 1 , que é o núcleo de T - 1 I d , é o conjunto dos polinômios a x 2 + b x + c tais que a,b,c satisfazem o sistema

{ c - a = 0   a - c = 0                 →             a = c         ,     b = 0

Mostrando que V 1 = c x 2 + c   |   c   ∈   R é subespaço de λ = 1 .

Resposta

λ = 1 ; V 1 = c x 2 + c   |   c   ∈   R