Considere A (x , y , z) = ((x + y)/(2) , (x + y)/(2) , z) . Determine P e Q tais que:

  1. P^(- 1) A P = [1 0 0 0 1 0 0 0 0]

Passo 1

Uma estratégia legal pra desenvolver essa questão, é primeiro identificar o que a matriz dada representa, por exemplo, essa matriz é MUUUITO parecida com a condição de diagonalizar uma matriz que possui uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que P A P^(- 1) = D . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

  1. Logo de cara a gente percebe a relação de: P A P^(- 1) = D -> P^(- 1) A P = [1 0 0 0 1 0 0 0 0] . Ou seja, os autovalores da matriz são os termos na diagonal da coluna, lambda = 1 e lambda = 0 .

Associados aos autovalores, quando reescrevermos A como um sistema, tal que lambda = 1 , termos que { (x + y)/(2) (x + y)/(2) z = (x + y)/(2) (1 1 0) + z (0 0 1) , ou seja, se lambda = 1 são gerados os espaços (1,1,0) e (0,0,1).

Mas quando lambda = 0 , temos o sistema { (x + y)/(2) - (x + y)/(2) z = 0 , logo, é gerado o espaço (1,-1,0). Portaaanto, o P pode ser escrito como:

[1 0 1 1 0 - 1 0 1 0] o u [0 1 1 0 1 - 1 1 0 0]

Resposta

P = [1 0 1 1 0 - 1 0 1 0] o u P = [0 1 1 0 1 - 1 1 0 0]