Considere . Determine P e Q tais que:
(b)
Passo 1
Uma estratégia legal pra desenvolver essa questão, é primeiro identificar o que a matriz dada representa, por exemplo, essa matriz é MUUUITO parecida com a condição de diagonalizar uma matriz que possui uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- Q é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!
Passo 2
- Logo de cara a gente percebe a relação de: . Ou seja, os autovalores da matriz são os termos na diagonal da coluna, .
Associados aos autovalores, quando reescrevermos A como um sistema, tal que , termos que , ou seja, se são gerados os espaços (1,1,0) e (0,0,1).
Mas quando , temos o sistema , logo, é gerado o espaço (1,-1,0). Portaaanto, o P pode ser escrito como: