Considere v   =   ( 4 ,   - 1 ,   - 1 ) e β   =   { ( 1 ,   - 1 ,   0 ) , ( 0 ,   1 ,   - 1 ) , ( 0 ,   0 ,   1 ) } ;

(a) escreva v como combinação linear dos vetores de β;

(b) determine [ v ]   ε (base canônica);

(c) determine [ v ]   β ;

(d) sabendo que [ w ]   β = 2   - 3   2   determine [ w ]   ε .

Passo 1

a) Para escrever v como combinação linear dos vetores de β basta usar a Relação 1:

[ v ] β * β = v             ( 1 )

Considerando [ v ]   β = ( a , b , c ) e substituindo para o valor da matriz, temos:

a 1 ,   - 1 ,   0 + b 0 ,   1 ,   - 1 + c 0 ,   0 ,   1 = ( 4 ,   - 1 ,   - 1 )

Para determinarmos o valor de a,b,c vamos separar o termos a fim de facilitar:

a 1 + b 0 + c 0 = 4       →       a = 4

4 - 1 + b 1 + c 0 = - 1       →       b = 3

4 0 + 3 - 1 + c 1 = - 1       →       c = 2

Portanto, ao reescrever v como combinação linear de β , temos que:

v = 4 1 ,   - 1 ,   0 + 3 0 ,   1 ,   - 1 + 2 0 ,   0 ,   1

Passo 2

b) Achar a base canônica [ v ]   ε é bem simples, pois nós já temos os elementos, eles são os mesmos de v , logo

[ v ]   ε = 4   - 1   - 1  

Passo 3

C) No item A nós já determinamos [ v ] β que foi utilizado para escrever a combinação linear, portanto, temos que :

[ v ] β = 4   3   2  

Passo 4

d) Para descobrirmos [ w ]   ε a partir de [ w ]   β basta utilizarmos a mesma relação (1) usada no item A, assim, adaptando a equação, temos que:

[ w ] β * β = [ w ]   ε

2   ,   - 3   ,   2       1 ,   - 1 ,   0 , 0 ,   1 ,   - 1 , 0 ,   0 ,   1     →       2 1 ,   - 1 ,   0 - 3 0 ,   1 ,   - 1 + 2 0 ,   0 ,   1       →       ( 2   ,   - 5   ,   5 )

Portanto, [ w ]   ε = 2   - 5   5  

Resposta

a )   v = 4 1 ,   - 1 ,   0 + 3 0 ,   1 ,   - 1 + 2 0 ,   0 ,   1 ;

b) [ v ]   ε = 4   - 1   - 1   ;

c) [ v ] β = 4   3   2   ;

d) [ w ]   ε = 2   - 5   5