Considere a , b ,   c , d ∈ R 2 . Mostre que eles são LDs se, e somente se, a d - b c = 0 .

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Dizemos que um conjunto de vetores { v 1 ,   … ,   v n } é LD, se existirem reais a 1 ,   … ,   a n , não todos nulos, tais que:

a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Sabendo disso, vamos para a questão.

Passo 2

( ) Inicialmente, vamos mostrar que se os vetores ( a , b ) e ( c , d ) são LDs, então a d - b c = 0 .

Supondo a hipótese verdadeira, devem existir reais α e β , não ambos nulos, tais que:

α a , b + β c , d = ( 0 , 0 )

Supomos, sem perda de generalidade, que β ≠ 0 . Temos que:

α a , b + β c , d = 0 , 0 ⇒

α a , α b + β c ,   β d = 0,0 ⇒

α a + β c ,   α b + β d = 0,0 ⇒

α a + β c = 0 α b + β d = 0

Da primeira equação obtemos α = - β c a , substituindo isso na segunda ficamos com:

- β c a b + β d = 0 ⇒

- β b c a + β d = 0 ⇒

- b c a + d = 0 ⇒

a d - b c = 0

Portanto, está provado que se se os vetores ( a , b ) e ( c , d ) são LDs, então a d - b c = 0 .

( ) Agora, vamos mostrar que se a d - b c = 0 , então os vetores ( a , b ) e ( c , d ) são LDs. Para provar que esses vetores são LDs, devemos mostrar que existem α e β , não ambos nulos, tais que:

α a , b + β c , d = ( 0,0 )

Ou melhor, devemos mostrar que o sistema linear homogêneo abaixo não possui apenas a solução trivial:

a c b d α β = 0 0

Sabemos que se qualquer um dos nossos vetores for nulo, o conjunto será LD. Supomos então que a , b ≠ ( 0,0 ) , e consideramos sem perda de generalidade que a ≠ 0 . Vamos escalonar a matriz de coeficientes do nosso sistema:

a c b d → l 2 = l 2 - b a l 1         a c 0 a d - c b a

Como temos por hipótese que a d - c b = 0 , segue que a segunda linha da matriz é nula, ou seja, a solução do sistema é dada por α = - β c a , de modo que temos mais soluções do que apenas a solução trivial. Sendo assim, podemos concluir que os vetores ( a , b ) e ( c , d ) são LDs.

Portanto, está provado que se a d - b c = 0 , então os vetores ( a , b ) e ( c , d ) são LDs.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)