Considere . Mostre que eles são LDs se, e somente se, .
Passo 1
E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!
Dizemos que um conjunto de vetores é LD, se existirem reais , não todos nulos, tais que:
Sabendo disso, vamos para a questão.
Passo 2
() Inicialmente, vamos mostrar que se os vetores e são LDs, então .
Supondo a hipótese verdadeira, devem existir reais e , não ambos nulos, tais que:
Supomos, sem perda de generalidade, que . Temos que:
Da primeira equação obtemos , substituindo isso na segunda ficamos com:
Portanto, está provado que se se os vetores e são LDs, então .
() Agora, vamos mostrar que se , então os vetores e são LDs. Para provar que esses vetores são LDs, devemos mostrar que existem e , não ambos nulos, tais que:
Ou melhor, devemos mostrar que o sistema linear homogêneo abaixo não possui apenas a solução trivial:
Sabemos que se qualquer um dos nossos vetores for nulo, o conjunto será LD. Supomos então que , e consideramos sem perda de generalidade que . Vamos escalonar a matriz de coeficientes do nosso sistema:
Como temos por hipótese que , segue que a segunda linha da matriz é nula, ou seja, a solução do sistema é dada por , de modo que temos mais soluções do que apenas a solução trivial. Sendo assim, podemos concluir que os vetores e são LDs.
Portanto, está provado que se , então os vetores e são LDs.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)