Considere D X X o operador segunda derivada e D X X X o operador terceira derivada. Prove que em P 4 (polinômios de grau máximo igual a 4) D X X D X X X = 0 embora nem D X X nem D X X X sejam nulos.

Obs: em álgebra quando acontece de ST = 0 com S e T não-nulos dizemos que existe um divisor de 0.

Passo 1

Ihhhh essa questão nós vamos resolver só na lógica!! Vem comigo!

A questão diz que temos um polinômio qualquer de grau quatro, P 4 , podemos por exemplo considerá-lo P 4 = x 4 e multiplicação da derivada segunda, D ' ' , à derivada terceira D ' ' ' , gera 0.

Vamos pensar...

Sem considerar valores, nós podemos manipular a multiplicação das derivadas:

D ' ' D ' ' ' = D ' ' ' ' '

Ah beleza, isso gerou uma derivada quinta, mas o que significa?? Basta derivar 5 vezes o polinômio P 4 = x 4 :

P 4 = x 4   →   P 4 ' = 4 x 3   →   P 4 ' ' = 12 x 2   →   P 4 ' ' ' = 24 x   →   P 4 ' ' ' ' = 24   →   P 4 ' ' ' ' ' = 0

Portanto, na última derivada a equação é zerada, provando a afirmativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)