Considere o plano . Determine
a) quatro pontos distintos de .
b) se .
c) se .
d) se .
e) intersecção com eixo .
f) interseção com plano .
Passo 1
E aí, pessoal, tudo beleza? Vamos para o exercício!!!
a) Os pontos do plano são obtidos fixando valores para os parâmetros e . Sejam e os pontos obtidos fazendo e , respectivamente:
b) O plano é dado da seguinte maneira:
Onde são os pontos do plano. Portanto, para que , devem existir tais que:
Somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda, ficamos com:
Fazendo na primeira equação ficamos com . Substituindo os valores encontrados para e em todas as equações, percebemos que todas são satisfeitas, ou seja, e é uma solução para o nosso sistema. Sendo assim, .
c) Pelo que vimos no item anterior, para que tenhamos , devem existir reais e tais que:
Subtraindo a primeira equação pela terceira ficamos com , donde podemos concluir imediatamente que o sistema não possui solução. Sendo assim, .
d) Como , mas vimos no item acima que , concluímos que não podemos ter .
e) O eixo em é dado por . Sendo assim, a interseção do plano com o eixo depende do conjunto solução do sistema abaixo:
Subtraindo a primeira equação pela terceira ficamos com , donde concluímos imediatamente que o sistema acima não possui solução, e assim a intersecção do plano com o eixo é dada por .
f) Temos que o plano é dado por:
Sendo assim, a intersecção do plano com o plano depende do conjunto solução do sistema:
Somando a segunda equação com o dobro da terceira ficamos com:
Substituindo na terceira equação obtemos . Agora, substituindo e na primeira equação obtemos e na quarta obtemos . Logo, a intersecção entre o plano e o plano é dada por .
Resposta
a) e .
b) Verdadeiro.
c) Falso.
d) Falso.
e) .
f) .