Considere o plano Π = 1,1 , 2,0 + t - 1,2 , - 1,2 + s 1,1 , 1,1 ∈ R 4 . Determine

a) quatro pontos distintos de Π .

b) se 2,5 , 3,4 ∈ Π .

c) se 1,1 , 3,3 ∈ Π .

d) se Π = 1,1 , 3,3 +   < - 1,2 , - 1,2 ,   1,1 , 1,1 > .

e) intersecção com eixo y .

f) interseção com plano < 1,0 , 0,0 ,   0,0 , 0,1 > .

Passo 1

E aí, pessoal, tudo beleza? Vamos para o exercício!!!

a) Os pontos do plano Π são obtidos fixando valores para os parâmetros t e s . Sejam P 1 ,   P 2 , P 3 e P 4 os pontos obtidos fazendo t , s = 0,0 ,   t , s = 0,1 ,   t , s = ( 1,0 ) e t , s = ( 1,1 ) , respectivamente:

P 1 = 1,1 , 2,0 + 0 - 1,2 , - 1,2 + 0 1,1 , 1,1 = ( 1,1 , 2,0 )

P 2 = 1,1 , 2,0 + 0 - 1,2 , - 1,2 + 1 1,1 , 1,1 = 1,1 , 2,0 + 1,1 , 1,1 = ( 2,2 , 3,1 )

P 3 = 1,1 , 2,0 + 1 - 1,2 , - 1,2 + 0 1,1 , 1,1 = 1,1 , 2,0 + - 1,2 , - 1,2 = ( 0,3 , 1,2 )

P 4 = 1,1 , 2,0 + 1 - 1,2 , - 1,2 + 1 1,1 , 1,1 = 1,1 , 2,0 + - 1,2 , - 1,2 + 1,1 , 1,1 = ( 1 , , 4,2 , 3 )

b) O plano Π é dado da seguinte maneira:

x = s - t + 1 y = s + 2 t + 1 z = s - t + 2 w = s + 2 t

Onde ( x ,   y , z , w ) são os pontos do plano. Portanto, para que 2,5 , 3,4 ∈ Π , devem existir t ,   s ∈ R tais que:

s - t + 1 = 2 s + 2 t + 1 = 5 s - t + 2 = 3 s + 2 t = 4

Somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda, ficamos com:

2 s - t + 1 + s + 2 t + 1 = 2 × 2 + 5 ⇒ 2 s - 2 t + 2 + s + 2 t + 1 = 9 ⇒ 3 s + 3 = 9 ⇒ 3 s = 6 ⇒ s = 2

Fazendo s = 2 na primeira equação ficamos com 2 - t + 1 = 2 ⇒ t = 1 . Substituindo os valores encontrados para t e s em todas as equações, percebemos que todas são satisfeitas, ou seja, t = 1 e s = 2 é uma solução para o nosso sistema. Sendo assim, 2,5 , 3,4 ∈ Π .

c) Pelo que vimos no item anterior, para que tenhamos 1,1 , 3,3 ∈ Π , devem existir reais t e s tais que:

s - t + 1 = 1 s + 2 t + 1 = 1 s - t + 2 = 3 s + 2 t = 3

Subtraindo a primeira equação pela terceira ficamos com s - t + 1 - s - t + 2 = 1 - 3 ⇔   - 1 = - 2 , donde podemos concluir imediatamente que o sistema não possui solução. Sendo assim, 1,1 , 3,3 ∉ Π .

d) Como 1,1 , 3,3 ∈   1,1 , 3,3 +   < - 1,2 , - 1,2 ,   1,1 , 1,1 > , mas vimos no item acima que 1,1 , 3,3 , ∉ Π , concluímos que não podemos ter Π =   1,1 , 3,3 +   < - 1,2 , - 1,2 ,   1,1 , 1,1 > .

e) O eixo y em R 4 é dado por 0 , y 1 ,   0 ,   0 ∈ R 4   y 1 ∈ R } . Sendo assim, a interseção do plano Π com o eixo y depende do conjunto solução do sistema abaixo:

s - t + 1 = 0 s + 2 t + 1 = y 1 s - t + 2 = 0 s + 2 t = 0

Subtraindo a primeira equação pela terceira ficamos com s - t + 1 - s - t + 2 = 0 - 0 ⇔ - 1 = 0 , donde concluímos imediatamente que o sistema acima não possui solução, e assim a intersecção do plano Π com o eixo y é dada por .

f) Temos que o plano < 1,0 , 0,0 ,   0,0 , 0,1 > é dado por:

x = t 1 y = 0 z = 0 w = s 1

Sendo assim, a intersecção do plano Π com o plano < 1,0 , 0,0 ,   0,0 , 0,1 > depende do conjunto solução do sistema:

s - t + 1 = t 1 s + 2 t + 1 = 0 s - t + 2 = 0 s + 2 t = s 1

Somando a segunda equação com o dobro da terceira ficamos com:

s + 2 t + 1 + 2 s - t + 2 = 0 + 2 × 0 ⇒ s + 2 t + 1 + 2 s - 2 t + 4 = 0 ⇒ 3 s + 5 = 0 ⇒ s = - 5 3

Substituindo s na terceira equação obtemos - 5 3 - t + 2 = 0 ⇒ t = - 5 3 + 6 3 = 1 3 . Agora, substituindo t e s na primeira equação obtemos t 1 = - 5 3 - 1 3 + 1 = - 1 e na quarta obtemos s 1 = - 5 3 + 2 1 3 = - 1 . Logo, a intersecção entre o plano Π e o plano < 1,0 , 0,0 ,   0,0 , 0,1 > é dada por - 1 ,   0 ,   0 ,   - 1 .

Resposta

a) 1,1 , 2,0 ,   2,2 , 3,1 ,   ( 0,3 , 1,2 ) e ( 1 , 4,2 , 3 ) .

b) Verdadeiro.

c) Falso.

d) Falso.

e) .

f) - 1 ,   0 ,   0 ,   - 1 .