Considere 3 com o produto interno dado pelo cálculo do valor dos polinômios em –3, –1, 1 e 3. Sejam p0(t) = 1, p1(t) = t e p2(t) = t2.

a.Calcule a projeção ortogonal de p2 sobre o subespaço gerado por p0 e p1.

b.Encontre um polinômio q ortogonal a p0 e p1 tal que {p0, p1, q} seja uma base ortogonal para {p0, p1, p2}. Multiplique o polinômio q por uma constante de modo que seu vetor de valores em (–3 ,–1, 1, 3) seja (1, –1, –1, 1).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere os polinômios p 0 ( t ) = 1 , p 1 ( t ) = t , e p 2 ( t ) = t 2

o objetivo é calcular a projeção ortogonal do p 2 subespaço abrangido por p 0 e p 1 .

Em t 0 = - 3 , t 1 = - 1 , t 2 = 1 , e t 3 = 3 , o valor de p 0 ( t ) = 1 , p 1 ( t ) = t , e p 2 ( t ) = t 2 são,

p 0 t 0 = p 0 - 3 = 1  

p 1 t 0 = p 1 - 3 = - 3  

p 2 t 0 = p 2 - 3 = 9

p 0 t 1 = p 0 - 1 = 1  

p 1 t 1 = p 1 - 1 = - 1  

p 2 t 1 = p 2 - 1 = 1

p 0 t 2 = p 0 1 = 1  

p 1 t 2 = p 1 1 = 1  

p 2 t 2 = p 2 1 = 1

p 0 t 3 = p 0 3 = 1  

p 1 t 3 = p 1 3 = 3  

p 2 t 3 = p 2 ( 3 ) = 9

Para números reais distintos t 0 , t 1 , t 2 e t 3 , o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 3 é definido por,

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 2 q t 2 + p t 3 q t 3

Passo 2

(a) A projeção ortogonal de p 2 para o subespaço abrangido p 0 e p 1 é,

p ˆ 2 = p 2 , p 0 p 0 , p 0 p 0 + p 2 , p 1 p 1 , p 1 p 1 … … ( 1 )

Encontrar o produto interno de p 2 , p 0 é,

p 2 , p 0   = p 2 ( - 3 ) p 0 ( - 3 ) + p 2 ( - 1 ) p 0 ( - 1 ) + p 2 ( 1 ) p 0 ( 1 ) + p 2 ( 3 ) p 0 ( 3 )   = ( 9 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 9 ) ( 1 )   = 9 + 1 + 1 + 9   = 20

Encontre o produto interno do p 2 , p 1 é,

p 2 , p 1   = p 2 ( - 3 ) p 1 ( - 3 ) + p 2 ( - 1 ) p 1 ( - 1 ) + p 2 ( 1 ) p 1 ( 1 ) + p 2 ( 3 ) p 1 ( 3 )   = ( 9 ) ( - 3 ) + ( 1 ) ( - 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 9 ) ( 3 )   = - 27 - 1 + 1 + 27   = 0

Passo 3

Encontre o produto interno do p 0 , p 0 é,

p 0 , p 0   = p 0 ( - 3 ) p 0 ( - 3 ) + p 0 ( - 1 ) p 0 ( - 1 ) + p 0 ( 1 ) p 0 ( 1 ) + p 0 ( 3 ) p 0 ( 3 )   = 1 + 1 + 1 + 1   = 4

Encontre o produto interno do p 1 , p 1 é,

p 1 , p 1   = p 1 ( - 3 ) p 1 ( - 3 ) + p 1 ( - 1 ) p 1 ( - 1 ) + p 1 ( 1 ) p 1 ( 1 ) + p 1 ( 3 ) p 1 ( 3 )   = ( - 3 ) ( - 3 ) + ( - 1 ) ( - 1 ) + 1 ( 1 ) + 3 ( 3 )   = 20

Portanto, a projeção ortogonal de p 2 para o subespaço abrangido por p 0 e p 1 é,

p ˆ 2   = 20 4 p 0 + 0 20 p 1     de   ( 1 )   = 5 ( 1 ) + 0   = 5

Passo 4

(b) O objetivo é encontrar o polinômio q que é ortogonal para p 0 e p 1 tal que p 0 , p 1 , q é uma base ortonormal para L ⁡ p 0 , p 1 , p 2 .

p 0 p 1 p 2 1 1 1 1 , - 3 - 1 1 3 , 9 1 1 9

Encontrando o vetor

q   = p 2 - p ˆ 2   = t 2 - 5

Portanto, o vetor ortogonal p 0 e p 1 tal que p 0 , p 1 , q é uma base ortonormal para L ⁡ p 0 , p 1 , p 2 é q = t 2 - 5 .

Em t 0 = - 3 , t 1 = - 1 , t 2 = 1 , e t 3 = 3 , o valor de q = t 2 - 5 são,

q 0 t 0 = q 0 ( - 3 ) = 4 q 1 t 1 = q 1 ( - 1 ) = - 4 q 2 t 2 = q 2 ( 1 ) = - 4 q 3 t 3 = q 3 ( 3 ) = 4

Assim, o dimensionamento por 1 4 do novo vetor q é q = 1 4 t 2 - 5 .

Resposta

q = 1 4 t 2 - 5