Considere 2 com o produto interno do Exemplo 1. Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é válida para x = (3, –2) e y = (–2, 1). [Sugestão: Estude ||2.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere os vetores x = ( 3 , - 2 ) e y = ( - 2,1 ) .

O produto interno para qualquer vetor x = x 1 , x 2 e y = y 1 , y 2 em R 2 é,

⟨ x , y ⟩ = 4 x 1 y 1 + 5 x 2 y 2 … … ( 1 )

O objetivo é mostrar que a desigualdade Cauchy-Schwarz vale para os vetores x = ( 3 , - 2 ) e y = ( - 2,1 )

A desigualdade Cauchy -Schwarz afirma que para todos x , y em R 2

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥

Encontre comprimento ou norma de um vetor ∥ x ∥ e ∥ y ∥ é,

  = ⟨ ( 3 , - 2 ) , ( 3 , - 2 ) ⟩   = 4 ( 3 ) ( 3 ) + 5 ( - 2 ) ( - 2 )    from  ( 1 )

∥ x ∥   = ⟨ x , x ⟩   = ⟨ ( 3 , - 2 ) , ( 3 , - 2 ) ⟩   = 4 ( 3 ) ( 3 ) + 5 ( - 2 ) ( - 2 )     de   ( 1 )   = 36 + 20 = 56

E

∥ y ∥   = ⟨ y , y ⟩   = ⟨ ( - 2,1 ) , ( - 2,1 ) ⟩   = 4 ( - 2 ) ( - 2 ) + 5 ( 1 ) ( 1 )     de   ( 1 )   = 21

Passo 2

O produto interno ⟨ x , y ⟩ é,

⟨ x , y ⟩   = ⟨ ( 3 , - 2 ) , ( - 2,1 ) ⟩   = 4 ( 3 ) ( - 2 ) + 5 ( - 2 ) ( 1 )     de   ( 1 )   = - 34

| ⟨ x , y ⟩ | 2 = 1156

e o produto ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 é,

∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2   = 56 × 21   = 1176

Então a desigualdade Cauchy-Schwartz,

| ⟨ x , y ⟩ |   ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ | ⟨ x , y ⟩ | 2   ≤ ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2     Elevando ao quadrado dos dois lados   1156   < 1176

Então, a desigualdade se mantém.

Portanto, a desigualdade Cauchy-Schwartz se mantém.

Resposta

Resposta nos passos.