Considere 2 com o produto interno do Exemplo 1 e sejam x = (1, 1), y = (5, –1).

a.Encontre ||x||, ||y|| e ||2.

b.Descreva os vetores (z1, z2) que são ortogonais a y.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A gente tem que u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 vetores R 2 com produto interno,

⟨ u , v ⟩ = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 … … (i)

Passo 2

(a) Considere os vetores x = ( 1,1 ) e y = ( 5 , - 1 )

O objetivo é encontrar ∥ x ∥ , ∥ y ∥ , e | ⟨ x , y ⟩ | 2

O comprimento ou norma de um vetor x em R 2 é,

∥ x ∥   = ⟨ x , x ⟩   = ⟨ ( 1,1 ) , ( 1,1 ) ⟩

= 4 ( 1 ) ( 1 ) + 5 ( 1 ) ( 1 ) [ Pela definição (i)] = 4 + 5 = 9 = 3

Passo 3

O comprimento ou norma de um vetor y em R 2 é,

  ∥ y ∥ = ⟨ y , y ⟩   = ⟨ ( 5 , - 1 ) , ( 5 , - 1 ) ⟩   = 4 ( 5 ) ( 5 ) + 5 ( - 1 ) ( - 1 )  [ Pela defini çã o  (i)]    = 100 + 5   = 105

E

| ⟨ x , y ⟩ | 2 = | 4 ( 1 ) ( 5 ) + 5 ( 1 ) ( - 1 ) | 2 [ Pela definição (i)]

  = | 20 - 5 | 2   = | 15 | 2   = 225

Passo 4

(b) O objetivo é descrever todos os vetores z 1 , z 2 ortogonais para y . Diz-se que um vetor z é ortogonal para y se e somente se ⟨ z , y ⟩ = 0

isso é,

⟨ z , y ⟩   = 0 z 1 , z 2 , ( 5 , - 1 )   = 0

4 z 1 ( 5 ) + 5 ( - 1 ) z 2 =

4 z 1 ( 5 ) + 5 ( - 1 ) z 2 = 0 [Pela definição (i)]

20 z 1 - 5 z 2   = 0 20 z 1   = 5 z 2 z 1 1   = z 2 4

Portanto, todos os 1 4 múltiplos são ortogonais para y .

Resposta

a)

∥ x ∥ = 3

∥ y ∥ = 105

| ⟨ x , y ⟩ | 2 = 225

b)T odos os 1 4 múltiplos são ortogonais para y .