Considere 3 com o produto interno como no Exercício 9, com p0, p1 e q como descritos lá. Encontre a melhor aproximação para p(t) = t3 por polinômios em {p0, p1, q}.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere os polinômios p 0 ( t ) = 1 , p 1 ( t ) = t , e q = t 2 - 5

O objetivo é encontrar a melhor aproximação p ( t ) = t 3 por polinômio em L p 0 , p 1 , q

A melhor aproximação p ( t ) = t 3 por vetores L p 0 , p 1 , q é

p ˆ = proj W ⁡ p

p ˆ = p , p 0 p 0 , p 0 p 0 + p , p 1 p 1 , p 1 p 1 + ⟨ p , q ⟩ ⟨ q , q ⟩ q

Em t 0 = - 3 , t 1 = - 1 , t 2 = 1 , e t 3 = 3 , o valor de p 0 ( t ) = 1 , p 1 ( t ) = t , e p 2 ( t ) = t 2 são,

p t 0 = p ( - 3 ) = - 27  

p 0 t 0 = p 0 - 3 = 1  

p 1 t 0 = p 1 - 3 = - 3  

q t 0 = q - 3 = 4

p t 1 = p - 1 = - 1  

p 0 t 1 = p 0 - 1 = 1  

p 1 t 1 = p 1 - 1 = - 1  

q t 1 = q - 1 = - 4

p t 2 = p 1 = 1  

p 0 t 2 = p 0 1 = 1  

p 1 t 2 = p 1 1 = 1  

q t 2 = q 1 = - 4

p t 3 = p 3 = 27

p 0 t 3 = p 0 3 = 1  

p 1 t 3 = p 1 3 = 3  

q t 3 = q ( 3 ) = 4  

Para números reais distintos t 0 , t 1 , t 2 e t 3 , o produto interno ⟨ p , q ⟩ em P 3 é definido por,

⟨ p , q ⟩ = p t 0 q t 0 + p t 1 q t 1 + p t 2 q t 2 + p t 3 q t 3

Passo 2

Achando o produto interno p , p 0 ,

p ⋅ p 0   = p ( - 3 ) p 0 ( - 3 ) + p ( - 1 ) p 0 ( - 1 ) + p ( 1 ) p 0 ( 1 ) + p ( 3 ) p 0 ( 3 )   = ( - 27 ) ( 1 ) + ( - 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 27 ) ( 1 )   = 0

Encontre o produto interno p , p 1 ,

p , p 1   = p ( - 3 ) p 1 ( - 3 ) + p ( - 1 ) p 1 ( - 1 ) + p ( 1 ) p 1 ( 1 ) + p ( 3 ) p 1 ( 3 )   = ( - 27 ) ( - 3 ) + ( - 1 ) ( - 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 27 ) ( 3 )   = 164

Encontre o produto interno ⟨ p , q ⟩ ,

⟨ p , q ⟩   = p ( - 3 ) q ( - 3 ) + p ( - 1 ) q ( - 1 ) + p ( 1 ) q ( 1 ) + p ( 3 ) q ( 3 )   = ( - 27 ) ( 4 ) + ( - 1 ) ( - 4 ) + ( 1 ) ( - 4 ) + ( 27 ) ( 4 )   = 0

Passo 3

Encontre o produto interno p 0 , p 0 ,

p 0 ⋅ p 0   = p 0 ( - 3 ) p 0 ( - 3 ) + p 0 ( - 1 ) p 0 ( - 1 ) + p 0 ( 1 ) p 0 ( 1 ) + p 0 ( 3 ) p 0 ( 3 )   = ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 )   = 4

Encontre o produto interno p 1 , p 1 ,

p 1 , p 1   = p 1 ( - 3 ) p 1 ( - 3 ) + p 1 ( - 1 ) p 1 ( - 1 ) + p 1 ( 1 ) p 1 ( 1 ) + p 1 ( 3 ) p 1 ( 3 )   = ( - 3 ) ( - 3 ) + ( - 1 ) ( - 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 3 ) ( 3 )   = 20

Encontre o produto interno ⟨ q , q ⟩ ,

⟨ q , q ⟩   = q ( - 3 ) q ( - 3 ) + q ( - 1 ) q ( - 1 ) + q ( 1 ) q ( 1 ) + q ( 3 ) q ( 3 )   = ( 4 ) ( 4 ) + ( - 4 ) ( - 4 ) + ( - 4 ) ( - 4 ) + ( 4 ) ( 4 )   = 64

Passo 4

Portanto, a melhor aproximação por p ( t ) = t 3 vetores L p 0 , p 1 , q é,

p ˆ   = p , p 0 p 0 , p 0 p 0 + p , p 1 p 1 , p 1 p 1 + ⟨ p , q ⟩ ⟨ q , q ⟩ q   = 0 4 ( 1 ) + 164 20 ( t ) + 0 64 t 2 - 5   = 41 5 t

Resposta

p ˆ = 41 5 t