Considere a relação R definida em N × N da seguinte forma:

a , b R c , d s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   a │ c   e   b ≤ d

  1. Prove que R é uma relação de ordem parcial
  2. Determine os limites superiores, os limites inferiores, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de A = 1,2 ,   2,1

Passo 1

Esse exercício é muito parecido com o exercício 43 do capítulo, então seguimos. Vamos provar a reflexividade, antissimetria e transitividade para atestar que é uma relação de ordem parcial.

Provando a reflexividade:

Como a │ a e b ≤ b então a , b R ( a , b ) e a relação é simétrica.

Passo 2

Para provar a simetria temos que considerar ( a ,   b ) R ( c ,   d ) e ( c ,   d ) R ( a ,   b ) , então:

a │ c   e   b ≤ d e também c │ a   e   d ≤ b ⇒ a = c , da mesma forma pode-se concluir que b = d . Portanto, a , b = ( c , d ) provando que é antissimétrica.

Passo 3

Para provar a transitividade temos que considerar ( a ,   b ) R ( c ,   d ) e ( c ,   d ) R ( e ,   f ) , então:

a │ c   e   b ≤ d e também c │ e   e   d ≤ f , que implica em a │ e e b ≤ f , ou seja, a , b R ( e , f ) e está provada a transitividade.

Portanto, R ordena o conjunto parcialmente.

Passo 4

Agora vamos assinalar o que representam os elementos do nosso conjunto!

  • Limite superior é x , y tal que 2 deve ser divisível por x e y ≤ 2 ;
  • O limite inferior do conjunto A são (1,1) e (1,0), os menores números naturais possíveis;
  • O supremo é (2,2);
  • O ínfimo é (1,1);
  • Não existem máximo e mínimo, pois os elementos estão no mesmo patamar.

Resposta

Limite inferior: ( 1,1 ) e (1,0); limite superior:   x , y │ 2   |   x e y ≤ 2 ; supremo: (2,2); ínfimo: (1,1); mínimo e máximo não existem.