Considere a relação R definida em da seguinte forma:
- Prove que R é uma relação de ordem parcial
- Determine os limites superiores, os limites inferiores, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de
Passo 1
Esse exercício é muito parecido com o exercício 43 do capítulo, então seguimos. Vamos provar a reflexividade, antissimetria e transitividade para atestar que é uma relação de ordem parcial.
Provando a reflexividade:
Como e então e a relação é simétrica.
Passo 2
Para provar a simetria temos que considerar e , então:
e também , da mesma forma pode-se concluir que . Portanto, provando que é antissimétrica.
Passo 3
Para provar a transitividade temos que considerar e , então:
e também , que implica em e , ou seja, e está provada a transitividade.
Portanto, R ordena o conjunto parcialmente.
Passo 4
Agora vamos assinalar o que representam os elementos do nosso conjunto!
- Limite superior é tal que deve ser divisível por x e ;
- O limite inferior do conjunto A são (1,1) e (1,0), os menores números naturais possíveis;
- O supremo é (2,2);
- O ínfimo é (1,1);
- Não existem máximo e mínimo, pois os elementos estão no mesmo patamar.
Resposta
Limite inferior: e (1,0); limite superior: e ; supremo: (2,2); ínfimo: (1,1); mínimo e máximo não existem.