Considere a relação R sobre N × N definida por:

(a,b)R(c,d) se, e somente se, a + b = c + d

Prove que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!

Dado a , b ∈ N 2 , temos que a + b = a + b , então a , b R ( a , b ) , o que prova que ela é reflexiva.

Passo 2

Dado a , b   e   ( c , d ) ∈ N 2 com a , b R ( c , d ) , então:

a + b = c + d

Se subtrairmos a + b de ambos os membros da igualdade, temos:

a + b - a + b = c + d - a + b

0 = c + d + - a - b

Vamos subtrair agora c + d de ambos os membros:

- c + d = c + d + - a - b - ( c + d )

- c + d = - a - b

Multiplicando ambos os lados por -1:

- c + d = - a + b   × - 1

c + d = a + b

Isso implica que c , d R ( a , b ) , e assim está provada a simetria.

Passo 3

E a transitividade é provada tomando a , b   ,   c , d e   ( e , f ) ∈ N 2 com a , b R ( c , d ) e c , d R ( e , f ) , então:

a + b = c + d e c + d = e + f

a + b = e + f

⇒ a , b R e , f

E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

Resposta

Demonstração