Considere a relação R sobre definida por:
(a,b)R(c,d) se, e somente se, a + b = c + d
Prove que R é uma relação de equivalência.
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
Dado , temos que , então , o que prova que ela é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Se subtrairmos de ambos os membros da igualdade, temos:
Vamos subtrair agora de ambos os membros:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso implica que , e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e , então:
e
E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Resposta
Demonstração