Enunciado

Considere a relação S sobre R definida da seguinte forma:

x S y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x   -   y ∈ Q

a) Prove que S é uma relação de equivalência.

b) Descreva a classe representada por 1/2 .

c) Descreva a classe a - , quando a ∈ Q .

d) Descreva a classe   2   . -

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Para todo x ∈ Q , a relação é válida:

      x   =   x  

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x , y ∈ Q com x S y , então:

      x - y ∈ Q

    isso implica na existência de um k ∈ Q :

    x - y = k

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    x - y = k                     × - 1

    - x + y = - k  

    Como k ∈ Q , obviamente -k também pertence, por isso ySx e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x , y , z ∈ Q com x S y e y S z , então:

    x - y ∈ Q     e   y - z ∈ Q  

    dessa forma existe um k e um k’, pertencentes a Q tal que:

    x - y = k     e   y - z = k '  

    e podemos reescrever:

    x - k ' - z = k

    x - z = k + k '

    Sabe-se que a soma de um inteiro resulta em outro inteiro, então x - z ∈ Q , que implica xSz. E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. Como 1/2 é um número racional, sua classe é a dos números racionais, ou seja, 1 / 2   - = Q .
  4. Passo 5

  5. Como a é um número racional, sua classe é a dos números racionais, ou seja, a   - = Q .
  6. Passo 6

  7. Para que x - 2 seja um número racional, precisamos que x seja um racional somado a 2 , então vamos escrever:

2 - = { x + 2 |   x ∈ Q }

Bora pro próximo!

Resposta

  1. Demonstração
  2. 1 / 2 - = Q .
  3. a - = Q .
  4. 2 - = { x + 2 |   x ∈ Q }