Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 31
Considere a relação S sobre definida da seguinte forma:
a) Prove que S é uma relação de equivalência.
b) Descreva a classe representada por 1/2
c) Descreva a classe , quando .
d) Descreva a classe
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- Como 1/2 é um número racional, sua classe é a dos números racionais, ou seja, .
- Como a é um número racional, sua classe é a dos números racionais, ou seja, .
- Para que seja um número racional, precisamos que x seja um racional somado a , então vamos escrever:
Para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
isso implica na existência de um :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Como , obviamente -k também pertence, por isso ySx e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e , então:
dessa forma existe um k e um k’, pertencentes a tal que:
e podemos reescrever:
Sabe-se que a soma de um inteiro resulta em outro inteiro, então , que implica xSz. E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Bora pro próximo!
Resposta
- Demonstração
- .
- .