Considere a reta r = 1,2 , 0,0 + t 0 , 1 2 ,   1 - 1 ⊂ R 4 . Determine:

a) três pontos distintos de r .

b) se 1,4 , 4 , - 4 ∈ r .

c) se 1,4 , 3,2 ∈ r .

d) se r = 1,4 , 3,2 + s ( 0 , 1 2 ,   1 ,   - 1 ) .

e) se r = 1,4 , - 4,4 + s ( 0 , - 2 , - 4,4 ) .

Passo 1

E aí, galera, tudo certo? Vamos para os itens!!!

a) Obtemos os pontos P 1 , P 2 e P 3 de r fazendo t = 1 ,   t = 2 e t = 3 , respectivamente, na parametrização:

P 1 = 1,2 , 0,0 + 1 0 , 1 2 ,   1 ,   - 1 = 1,2 , 0,0 + 0 , 1 2 ,   1 , - 1 = 1 , 5 2 ,   1 ,   - 1

P 2 = 1,2 , 0,0 + 2 0 , 1 2 ,   1 ,   - 1 = 1,2 , 0,0 + 0,1 ,   2 , - 2 = ( 1,3 , 2 , - 2 )

P 3 = 1,2 , 0,0 + 3 0 , 1 2 ,   1 ,   - 1 = 1,2 , 0,0 + 0 , 3 2 ,   3 ,   - 3 = ( 1 , 7 2 ,   3 ,   - 3 )

b) A parametrização de r pode ser dada como:

x 1 = 1 x 2 = t 2 + 2 x 3 = t x 4 =   - t

Onde x 1 , x 2 , x 3 , x 4 são os pontos pertences a reta. Sendo assim, para que 1,4 , 4 , - 4 ∈ r , deve existir t ∈ R tal que:

1 = 1 t 2 + 2 = 4 t = 4 - t =   - 4

Como a primeira equação é verdadeira independentemente do valor de t e as outras equações são verdadeiras para t = 4 , podemos concluir que 1,4 , 4 , - 4 ∈ R .

c) Pelo item anterior, sabemos que para que 1,4 , 3,2 ∈ r , deve exitir t ∈ R tal que:

1 = 1 t 2 + 2 = 4 t = 3 - t = 2

Pela segunda equação obtemos t = 4 , pela terceira obtemos t = 3 e pala última obtemos t = - 2 , portanto o sistema acima não possui solução. Sendo assim, podemos concluir que   1,4 , 3,2 ∉ r .

d) Com o ponto ( 1,4 , 3,2 ) pertence a reta dada por 1,4 , 3,2 + s 0 , 1 2 ,   1 .   - 1 , e vimos no item acima que esse ponto não pertence a reta r , podemos concluir imediatamente que não podemos ter r =   1,4 , 3,2 + s 0 , 1 2 ,   1 .   - 1 .

e) Para que tenhamos r = 1,4 , - 4,4 + s ( 0 ,   - 2 , - 4,4 ) , o sistema abaixo deve nos dar uma solução com uma variável livre t , já que para cada valor real que t assumir, deve existir um valor correspondente s , de modo que tenhamos 1,2 , 0,0 + t 0 , 1 2 ,   1 - 1 =   1,4 , - 4,4 + s ( 0 , - 2 , - 4,4 ) :

1 = 1 t 2 + 2 = - 2 s + 4 t = - 4 s - 4 - t = 4 s + 4

Temos que a solução da segunda equação é dada por s = - t 4 + 1 , enquanto a da terceira e da quarta é dada por s =   - t 4 - 1 . Ou seja, o sistema não possui uma solução em que s é dado em função de t . Portanto, não podemos ter r = 1,4 , - 4,4 + s ( 0 , - 2 , - 4,4 ) .

Resposta

a) 1 , 5 2 ,   1 ,   - 1 ,   ( 1 ,   3,2 , - 2 ) e 1 , 7 2 ,   3 ,   - 3 .

b) Verdadeiro.

c) Falso.

d) Falso.

e) Falso.