Considere a reta r = 1,2 , 1 +   < 1,0 , 1 , > , o plano Π 1 = 2,0 , 0 +   < ( 2,0 , 2 ) , ( 1,0 , 0 ) > , o plano Π 2 = x , y , z ∈ R 3     x + z = 0 } . Determine

a) r   ⋂ Π 1

b) r   ⋂   Π 2

c) Π 1   ⋂ Π 2

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Vamos para a questão!!!

Inicialmente, vamos dar as equações paramétricas de r , Π 1 e Π 2 :

Parametrização de r : x = t 1 + 1 y = 2 z = t 1 + 1

Parametrização de Π 1 : x = 2 t 2 + s 2 + 2 y = 0 z = 2 t 2

Parametrização de Π 2 : x = t 3 y = s 3 z = - t 3

Sabendo disso, vamos para os itens!!!

Passo 2

a) Pelas parametrizações de r e Π 1 , temos que r   ⋂ Π 1 é o conjunto solução do sistema abaixo:

t 1 + 1 = 2 t 2 + s 2 + 2 2 = 0 t 1 + 1 = 2 t 2

Como obviamente a segunda equação não possui solução, concluímos que o sistema não possui solução, e assim r   ⋂ Π 1 = ∅ .

b) Pelas parametrizações de r e Π 2 , temos que r   ⋂ Π 2 é o conjunto solução do sistema abaixo:

t 1 + 1 = t 3 s 3 = 2 t 1 + 1 = - t 3

Pela primeira e pela terceira equação, concluímos que t 3 = - t 3 , de modo que devemos ter t 3 = 0 . Já pela segunda equação, temos que s 3 = 2 . Sendo assim, r ⋂ Π 2 = { ( 0,2 , 0 ) } .

c) Pelas parametrizações de Π 1 e Π 2 , temos que Π 1   ⋂ Π 2 é o conjunto solução do sistema abaixo:

2 t 2 + s 2 + 2 = t 3 s 3 = 0 2 t 2 = - t 3

Subtraindo a primeira equação pela terceira obtemos 2 t 3 = s 2 + 2 ⇒ t 3 = s 2 + 2 2 . Já pela segunda equação temos que s 3 = 0 . Sendo assim, concluímos que Π 1 ⋂ Π 2 é dado pela seguinte reta:

x = s 2 + 2 2 y = 0 z =   - s 2 + 2 2 , com s 2 ∈ R

Ou melhor, Π 1 ⋂ Π 2 = s 2 + 2 2 ,   0 ,   - s 2 + 2 2 = s 2 2 + 1 ,   0 ,   - s 2 2 - 1 = 1,0 , - 1 + s 2 2 , 0 ,   - s 2 2 = 1,0 , - 1 +   < 1 2 ,   0 ,   - 1 2 > .

Resposta

a)   r   ⋂ Π 1 = ∅

b) r ⋂ Π 2 = { ( 0,2 , 0 ) }

c) Π 1 ⋂ Π 2 = 1,0 , - 1 +   < 1 2 ,   0 ,   - 1 2 >