Em R 3 considere A uma rotação de 90 ° em torno do eixo x , B uma rotação de 90 ° em torno do eixo y e C uma rotação de 90 ° em torno do eixo z . Mostre que:

A 4 = B 4 = C 4 = I

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Temos que as matrizes A ,   B e C são dadas por:

A = 1 0 0 0 c o s ⁡ ( 90 ° ) - s e n ( 90 ° ) 0 s e n ( 90 ° ) c o s ⁡ ( 90 ° ) = 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0

B = c o s ⁡ ( 90 ° ) 0 - s e n ( 90 ° ) 0 1 0 s e n ( 90 ° ) 0 c o s ⁡ ( 90 ° ) = 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0

C = c o s ⁡ ( 90 ° ) - s e n ( 90 ° ) 0 s e n ( 90 ° ) c o s ⁡ ( 90 ° ) 0 0 0 1 = 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1

Passo 2

Sendo assim, segue que:

A 4 = 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 ⇒

A 4 = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 ⇒

A 4 = 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 ⇒

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

B 4 = 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 ⇒

B 4 = - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 ⇒

B 4 = 0 0 1 0 1 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 ⇒

B 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

C 4 =   0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 ⇒

C 4 = - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 ⇒

C 4 = 0 1 0 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 ⇒

C 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Logo, está provado que A 4 = B 4 = C 4 = I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)