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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 68

Considere os seguintes anéis: R , + , .   e   ( R , ⊕ ,   ⊙ ) , sendo a ⊕ b = a + b + 1       e       a ⊙ b = a + b + a b . Mostre que f : R → R dado por f x = x - 1 , ∀ x ∈ R é um isomorfismo de R , + , .   e m     R ,   ⊕ ,   ⊙ . Defina o isomorfismo inverso.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi ele pede para considerar que os seguintes anéis: R , + , .   e   ( R , ⊕ ,   ⊙ ) , sendo a ⊕ b = a + b + 1       e       a ⊙ b = a + b + a b . Mostre que f : R → R dado por f x = x - 1 , ∀ x ∈ R é um isomorfismo de R , + , .   e m     R ,   ⊕ ,   ⊙ . Defina o isomorfismo inverso.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que os anéis valem,

a ⊕ b = a + b + 1       e       a ⊙ b = a + b + a b , dado por

f x = x - 1 , ∀ x ∈ R

Temos que para um isomorfismo inverso a unidade é representada como,

f a - 1 . f a = f a 1 a = f ( 1 A ) = 1 B

Como no exercício foi dado que f x = x - 1 podemos definir seu inverso no final como,

f 1 = x + 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

f 1 = x + 1