Considere os seguintes subespaços do R 4 : V conjunto solução de { x   +   y   -   w   =   0   , W conjunto solução de { x   +   z   -   w   =   0     - z   +   w   =   0     e Z   =   〈 ( 1 ,   1 ,   2 ,   1 ) ,   ( 0 ,   1 ,   1 ,   0 ) 〉 . Determine

a) V ∩ W;

(b) Z ∩ V ;

(c) Z ∩ W

Passo 1

Saca só essa forma de resolver essa questão na tranquidaaade!

  1. Para obtermos a base que é interseção de V e W, primeiro vamos organizar os termos em um sistema, dessa forma:
  2. { x + y - w = 0   x + z - w = 0   - z + w = 0  

    Desenvolvendo o sistema, temos:

    0 + y - w = 0         →       y = w   x + w - w = 0       →       x = 0   z = w           →         w   { 0   1     1   1    

    Logo, a base da interseção é ( 0,1 , 1,1 )

    Passo 2

  3. Para obtermos uma possível base da interseção de Z e V, temos que primeiro parametrizar o plano Z, Z   =   〈 ( 1 ,   1 ,   2 ,   1 ) ,   ( 0 ,   1 ,   1 ,   0 ) 〉 , então:
  4. Z = s 1 ,   1 ,   2 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1 ,   0       →      

    x , y , z , w = s + 0 t   ; s + t   ; 2 s + t   ; 1 s = ( s   ; s + t ; 2 s + t ; s )

    Usando esse mesmo parâmetro, vamos parametrizar V:

    V = x + y - w = s + s + t - s = s + t       →     s = - t

    Portanto se substituirmos o valor de s na parametrização de Z, temos:

    - t ; - t + t ; 2 - t + t ; - t = - t   ; 0   ;   - t   ;   - t = t ( - 1   ; 0   ;   - 1 ;   - 1 )

    Logo, ( - 1,0 , - 1 , - 1 ) é uma base!

    Passo 3

  5. O item C já é mais simples pois nós já temos a parametrização de Z, segundo o item B:

Z x , y , z , w = ( s   ; s + t ; 2 s + t ; s )

Vamos usar esse parâmetro para parametrizar o conjunto solução de W:

{ s   +   2 s + t   -   s   =   2 s + t     - 2 s + t +   s   =   - s - t    

Portanto, a base que nós queremos é a solução do sistema

{   2 s + t = 0         →       2 s - s = 0       →       s = 0     - s - t = 0         →             t = - s             →       t = 0  

Se a única solução é s , t = ( 0,0 ) a interseção ocorre no (0,0), logo, a base é um conjunto vazio Ø .

Resposta

  1. ( 0,1 , 1,1 ) ; b) ( - 1,0 , - 1 , - 1 ) ; c) Ø