Enunciado

Considere os seguintes subespaços de R 3 : V = [ ( - 1 ,   2 ,   3 ) , ( 1 ,   3 ,   4 ) ]   e W =   [ ( 1 ,   2 ,   - 1 ) , ( 0 ,   1 ,   1 ) ] . Encontre a equação paramétrica da reta V ∩ W . A notação V 1 , V 2 significa o subespaço gerado por V 1 e V 2 , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de V 1 e V 2 . (Sugestão: revise o Exemplo 1.32 na página 36.)

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Sabemos que o subespaço vetorial V é gerado pelos vetores V 1 = ( - 1,2 , 3 ) e V 2 = ( 1,3 , 4 ) e o espaço vetorial W é gerado pelos vetores W 1 = ( 1,2 , - 1 ) e W 2 = ( 0,1 , 1 ) , em outras palavras, V = [ V 1 , V 2 ] e W = [ W 1 , W 2 ] .

O subespaço V e um plano que passa pela origem, paralelo aos vetores ( - 1 ,   2 ,   3 ) e ( 1 ,   3 ,   4 ) . O subespaço W e um plano que passa pela origem, paralelo aos vetores ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Para determinar a equação paramétrica da reta V ∩ W precisamos encontrar os vetores que são combinações lineares de V 1 e V 2 que são também combinações lineares de W 1 e W 2 , ou seja, devemos encontrar vetores U que satisfazem as duas equações:

  U = x V 1 + y V 2 U = a W 1 + b W 2  

Para isso, podemos resolver a equação x V 1 + y V 2 = a W 1 + b W 2 , ou ainda, x V 1 + y V 2 + a ( - W 1 ) + b ( - W 2 ) = 0 -

Esta equação é equivalente ao sistema linear A X = 0 - , onde

A = - 1 1 - 1 0 2 3 - 2 - 1 3 4 1 - 1

A forma escalonada reduzida da matriz A é:

A ' = 1 0 0 - 2 / 9 0 1 0 - 1 / 9 0 0 1 1 / 9

Assim, a solução do sistema linear é b = t ,   a = - t / 9     y = t / 9   e x = 2 t / 9 , para todo t ∈ R .

Substituindo-se x e y em U = x V 1 + y V 2 , obtemos que a interseção V ∩ W e formada por vetores da forma

U = 2 t V 1 9 + t V 2 9 = t 2 - 1,2 , 3 9 + 1,3 , 4 9 = t - 1 9 , 7 9 , 10 9 = t 9 - 1,7 , 10

ou substituindo-se a e b em U = a W 1 + b W 2 ,

U = - t 9 1,2 , - 1 + t 0,1 , 1 = t 9 - 1 , - 2,1 + 9 0,1 , 1 = t 9 ( - 1,7 , 10 )

Assim, a reta que é a interseção, V ∩ W , tem equação x , y , z = t ( - 1,7 , 10 ) , para todo t ∈ R , que e também um subespaço.

Resposta

A equação paramétrica da reta V ∩ W é dada por x , y , z = t ( - 1,7 , 10 ) .