Responde Aí

Enunciado

Considere uma semi-elipse e uma semi-reta como mostra a figura 3.8. Se girarmos a semi-reta no sentido horário, em torno do ponto P, em qual ponto da elipse ela tocará?

Passo 1

A ideia inicial é traçar eixos para nos ajudar, ficando mais ou menos assim:

Com isso, sabemos que nosso P é igual a (0,4)

Passo 2

Agora a ideia é achar o valor do ponto pertencente à reta tangente traçada

Veja que temos o valor de a e b da elipse, como ela está com o centro na origem, temos que sua equação é:

x 2 16 + y 2 4 = 1

y 2 = 4 ( 1 - x 2 16 )

y 2 = 4 16 16 - x 2 = ( 16 - x 2 ) 4

y = 1 2 ( 16 - x 2 )

Ou seja:

y ' = 1 2 - 2 x 2 16 - x 2 = - x   2 ( 16 - x 2 )

Passo 3

Pela equação da reta que contém A = x a , y a o ponto de tangencia e P = 0,4 :

y - 4 = m ( x )

y = m x + 4

Substituindo esse valor na equação da elipse:

m x + 4 = 1 2 ( 16 - x 2 )  

2 m x + 8 =   16 - x 2

4 m 2 x 2 + 64 + 32 m x = 16 - x 2

x 2 4 m 2 + 1 + 32 m x + 48 = 0

Como temos apenas um valor para o coeficiente angular (existe só aquela reta r com as propriedades pedidas), faremos delta igual a zero:

∆   = 32 m 2 - 4 4 m 2 + 1 48 = 0  

Daqui tiramos que m = ±   3 2 , como pela figura a reta é decrescente, pegaremos só o valor negativo

Sabemos que y a ' = m =   - 3 2 , dai:

- x a   2 ( 16 - x a 2 ) = - 3 2  

Daqui achamos que x a = 2 3 , logo, pela equação da elipse:

y a = 1 2 ( 16 - 2 3 2

y a = 1 2 2 = 1

Logo A = ( 2 3 , 1 )

Resposta

( 2 3 , 1 )