Considere o sistema x + 3 y = 1 2 x + y = - 3 2 x + 2 y = 0 . No ensino fundamental um método de resolução de sistema é resolver uma equação para uma variável e substituir a expressão nas outras equações. Isto é repetido até ficarmos somente com uma variável. Com isso, determinamos uma variável e, substituindo nas outras equações, determinamos as outras. Este método, além de mais longo que a eliminação de Gauss em termos de operações necessárias, induz, frequentemente, ao erro.

a) Resolva a primeira equação para x e substitua a expressão na segunda equação. Determine y .

b) Novamente resolva a primeira equação para x , mas desta substitua a expressão na terceira equação. Determine este y .

c) Qual é a solução correta para o sistema?

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!

a) Pela primeira equação temos que x = 1 - 3 y . Fazendo essa substituição na segunda equação obtemos o seguinte:

2 1 - 3 y + y = - 3 ⇒ 2 - 6 y + y = - 3 ⇒ 5 y = 5 ⇒ y = 1

Assim, chegamos em y = 1 .

b) Fazemos x = 1 - 3 y na terceira equação:

2 1 - 3 y + 2 y = 0 ⇒ 2 - 6 y + 2 y = 0 ⇒ 4 y = 2 ⇒ y = 1 2

Assim, chegamos em y = 1 2 .

Passo 2

c) A matriz estendida desse sistema linear é dada por:

1 3 | 1 2 1 | - 3 2 2 | 0

Escalonando essa matriz, obtemos o seguinte:

1 0 | 0 0 1 | 0 0 0 | 1

Portanto, a última equação do sistema é degenerada, ou seja, o sistema não possui solução.

Resposta

a) y = 1 .

b) y = 1 2 .

c) O sistema não possui solução.