Considere um sistema da forma

onde m 1 , m 2 , b 1 e b 2 são constantes.

(a) Mostre que o sistema tem uma única solução se m 1 ≠ m 2 .

(b) Se m 1 = m 2 , mostre que o sistema só é compatível se b 1 = b 2 .

(c) Intérprete geometricamente os itens (a) e (b).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Dado o sistema de equações é:‎

- m 1 x 2 + x 2 = b 1

- m 2 x 1 + x 2 = b 2

‎Se ‎ m 1 ≠ m 2 ​‎, subtraindo a primeira equação a partir da segunda, temos‎

m 1 - m 2 x 1 = b 2 - b 1 - > x 1 = b 2 - b 1 m 1 - m 2

Substituindo o valor de ‎ x 1 ​‎ na primeira equação, temos‎

- m 1 b 2 - b 1 m 1 - m 2 + x 2 = b 1 - > x 2 = b 1 + m 1 b 2 - b 1 m 1 - m 2

‎Portanto, o sistema tem solução única, pois depende de constantes com valores definidos.‎

Passo 2

b) ‎Dado o sistema de equações é:‎

- m 1 x 1 + x 2 = b 1

- m 2 x 1 + x 2 = b 2

‎Se ‎ m 1 = m 2 , subtraindo a primeira equação a partir da segunda, temos‎

0 = b 2 - b 1 - > b 2 = b 1

‎A única maneira de o sistema ser consistente é se‎ b 2 = b 1

c) ‎a interpretação geométrica de a) é que qualquer das duas linhas com encostas diferentes têm um ponto comum e o par de soluções representam as coordenadas desse ponto.‎

‎A interpretação geométrica de b) é que se duas linhas têm a mesma inclinação (são paralelas) para que elas tenham um ponto comum, elas têm que ser a mesma linha‎

Resposta

  1. x 1 = b 2 - b 1 m 1 - m 2
  2. x 2 = b 1 + m 1 b 2 - b 1 m 1 - m 2

  3. Veja a resolução
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