Considere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a forma

a) Para que valores de a e b o sistema tem uma infinidade de soluções?

b) Para que valores de a e b o sistema é impossível?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dada a matriz

1 1 3 2 1 2 4 3 1 3 a b

subtraímos a linha nº 1 das linhas nº 2 e 3 para obter

1 1 3 2 0 1 1 1 0 2 a - 3 b - 2

e, além disso, 2 vezes a linha nº 2 da linha nº 3 para obter a matriz triangular.

Passo 2

Devido à última matriz estar na forma triangular, podemos distinguir os seguintes casos:

Se a   ≠   5 e b é arbitrário, então existe uma solução única para o sistema dado, onde

x 3 = b - 4 a - 5

x 2 e x 1 sendo derivável por substituição regressiva

Se a   =   5 , então nós podemos distinguir dois casos:

Se b = 4, então

a - 5 x 3 = 0 = b - 4

para cada x 3 , de onde existem infinitas soluções para o sistema dado, que são novamente deriváveis por substituição reversa

Se b   ≠   4 , então a última equação não pode ser satisfeita e, portanto, o sistema dado é inconsistente.

Como essa análise de caso é exaustiva, podemos responder à pergunta (a) que o sistema tem infinitas soluções se, e somente se, a = 5 e b = 4. Além disso, podemos responder à pergunta (b) que o sistema é inconsistente se, e somente se, a = 5 e b   ≠   4

Resposta

Resposta nos passos.