Considere os subconjuntos V ,   W ,   Y ,   Z ⊂ R 5 :

V = 1,2 , 3,4 , 5 +   < 1,0 , 1,0 , 1 ,   0,1 , 1,0 , 0 ,   ( 0,0 , 0,1 , 1 ) > ,

W =   < 1,0 , 0,0 , 0 ,   ( 0,0 , 0,0 , 1 ) > ,

Z os pontos x , y , z , w , k ∈ R 5 tais que x - z = 1 y + w + k = 0 e

Y os pontos x , y , z , w , k ∈ R 5 tais que x + w = 1 z - x + y + w + k = - 1 . Determine:

a) V   ⋂ W

b) V   ⋂ Z

c) Y   ⋂ Z

d) um sistema linear cujo conjunto solução é igual a V

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certinho? Vamos encarar mais um!!!

Inicialmente vamos dar a parametrização dos subconjuntos V ,   W ,   Y e Z :

V :   x = r 1 + 1 y = s 1 + 2 z = r 1 + s 1 + 3 w = t 1 + 4 k = r 1 + t 1 + 5               ,   r 1 , s 1 , t 1 ∈ R

W =   x = r 2 y = 0 z = 0 w = 0 k = s 2               ,   r 2 , s 2 ∈ R

Z =   x = r 3 + 1 y = - s 3 - t 3 z = r 3   w = s 3 k = t 3       ,   r 3 , s 3 , r 3 ∈ R

Y =   x = 1 - s 4 y = - r 4 - 2 s 4 - t 4 z = r 4   w = s 4 k = t 4           , r 4 , s 4 ,   t 4 ∈ R  

Passo 2

a) Para encontrar V   ⋂ W devemos inicialmente resolver o sistema abaixo nas variáveis r 1 ,   s 1 ,   t 1 ,   r 2 , t 2 :

r 1 + 1 = r 2 s 1 + 2 = 0 r 1 + s 1 + 3 = 0 t 1 + 4 = 0 r 1 + t 1 + 5 = s 2                     ⇔                   r 1 - r 2 = - 1 s 1 = - 2 r 1 + s 1 =   - 3 t 1 = - 4 r 1 + t 1 - s 2 = - 5

A matriz ampliada desse sistema é dada por:

1 0 0 - 1 0 | - 1 0 1 0 0 0 | - 2 1 1 0 0 0 | - 3 0 0 1 0 0 | - 4 1 0 1 0 - 1 | - 5

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

1 0 0 0 0 | - 1 0 1 0 0 0 | - 2 0 0 1 0 0 | - 4 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 | 0

Que nos dá a solução r 1 = - 1 ,   s 1 = - 2 ,   t 1 = - 4 ,   r 2 = 0 e s 2 = 0 . Ou seja, obtemos a intersecção entre V e W fazendo r 1 =   - 1 , s 1 = - 2 e t 1 = - 4 na parametrização de V ou fazendo r 2 = 0 e s 2 = 0 na parametrização de W . Fazendo qualquer uma dessas substituições obtemos que V ⋂ W = { 0,0 , 0,0 , 0 } .

b) Para encontrar V ⋂ Z devemos inicialmente resolver o sistema abaixo nas variáveis r 1 ,   s 1 ,   t 1 ,   r 3 ,   s 3 e t 3 :

r 1 + 1 = r 3 + 1 s 1 + 2 = - s 3 - t 3 r 1 + s 1 + 3 = r 3 t 1 + 4 = s 3 r 1 + t 1 + 5 = t 3               ⇔                     r 1 - r 3 = 0 s 1 + s 3 + t 3 = - 2 r 1 + s 1 - r 3 = - 3 t 1 - s 3 = - 4 r 1 + t 1 - t 3 = - 5

A matriz ampliada desse sistema é dada por:

1 0 0 - 1 0 0 | 0 0 1 0 0 1 1 | - 2 1 1 0 - 1 0 0 | - 3 0 0 1 0 - 1 0 | - 4 1 0 1 0 0 - 1 | - 5

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

1 0 0 0 0 - 2 | - 2 0 1 0 0 0 0 | - 3 0 0 1 0 0 1 | - 3 0 0 0 1 0 - 2 | - 2 0 0 0 0 1 1 | 1

Que nos dá a solução r 1 = 2 t 3 - 2 ,   s 1 = - 3 ,   t 1 = - t 3 - 3 ,   r 3 = 2 t 3 - 2 e s 3 = - t 3 + 1 . Ou seja, obtemos a intersecção entre V e Z fazendo r 1 = 2 t 3 - 2 , s 1 = - 3 e t 1 = - t 3 - 3 na parametrização de V ou fazendo r 3 = 2 t 3 - 2 e s 3 = - t 3 + 1   na parametrização de Z . Escolhendo a segunda opção obtemos que V ⋂ Z é dado pela seguinte parametrização:

x = 2 t 3 - 2 + 1 y = - - t 3 + 1 - t 3 z = 2 t 3 - 2 w = - t 3 + 1 k = t 3           ⇔                     x = 2 t 3 - 1 y = - 1 z = 2 t 3 - 2 w = - t 3 + 1 k = t 3             ,   t 3 ∈   R

Ou melhor, x , y , z , w , k = 2 t 3 - 1 ,   - 1 ,   2 t 3 - 2 ,   - t 3 + 1 ,   t 3 = - 1 , - 1 , - 2,1 , 0 + t 3 2,0 , 2 , - 1,1 = - 1 , - 1 , - 2,1 , 0   +   < 2,0 , 2 , - 1,1 > .

c) Par encontrar Y ⋂ Z devemos inicialmente resolver o sistema abaixo nas variáveis r 3 , s 3 , t 3 ,   r 4 , s 4 e t 4 :

r 3 + 1 = 1 - s 4 - s 3 - t 3 = - r 4 - 2 s 4 - t 4 r 3 = r 4 s 3 = s 4 t 3 = t 4               ⇔                 r 3 + s 4 = 0 - s 3 - t 3 + r 4 + 2 s 4 + t 4 = 0 r 3 - r 4 = 0 s 3 - s 4 = 0 t 3 - t 4 = 0

A matriz ampliada desse sistema é dada por:

1 0 0 0 1 0 | 0 0 - 1 - 1 1 2 1 | 0 1 0 0 - 1 0 0 | 0 0 1 0 0 - 1 0 | 0 0 0 1 0 0 - 1 | 0

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

1 0 0 0 1 0 | 0 0 1 0 0 - 1 0 | 0 0 0 1 0 0 - 1 | 0 0 0 0 1 1 0 | 0 0 0 0 0 0 0 | 0

Que nos dá a solução r 3 = - s 4 ,   s 3 = s 4 ,   t 3 = t 4 e r 4 = - s 4 . Sendo assim, obtemos Y   ⋂ Z fazendo r 3 = - s 4 ,   s 3 = s 4 e t 3 = t 4 na parametrização de Z ou fazendo r 4 = - s 4 na parametrização de Y . Escolhendo a primeira opção obtemos que Y ⋂ Z é dado pela seguinte parametrização:

x =   - s 4 + 1 y = - s 4 - t 4 z = - s 4 w = s 4 k = t 4

Ou melhor, x , y , z , w , k = - s 4 + 1 , - s 4 - t 4 ,   - s 4 , s 4 , t 4 = 1,0 , 0,0 , 0 +   s 4 - 1 , - 1 , - 1,1 , 0 + t 4 0 , - 1,0 , 0,1 = 1,0 , 0,0 , 0   +   < - 1 , - 1 , - 1,1 , 0 ,   ( 0 , - 1,0 , 0,1 ) > .

d) Para encontrar um sistema linear cujo conjunto solução é igual a V , devemos simplesmente passar o conjunto V da forma parametrizada para a forma cartesiana. Pela primeira equação da forma paramétrica de V temos que r 1 = x - 1 , pela segunda temos que s 1 = y - 2 e pela quarta temos que t 1 = w - 4 . Substituindo esses parâmetros na terceira e na quinta equação da forma paramétrica de V , obtemos o sistema que possui conjunto solução igual a V , que é dado por:

z = x - 1 + y - 2 + 3 k = x - 1 + w - 4 + 5             ⇔           x + y - z = 0 x + w - k = 0

Resposta

a) V ⋂ W = { 0,0 , 0,0 , 0 } .

b) V ⋂ Z = - 1 , - 1 , - 2,1 , 0   +   < 2,0 , 2 , - 1,1 > .

c) Y   ⋂ Z = 1,0 , 0,0 , 0   +   < - 1 , - 1 , - 1,1 , 0 ,   ( 0 , - 1,0 , 0,1 ) > .

d) x + y - z = 0 x + w - k = 0 .