Considere um tetraedro O A B C , com O A → = a → , O B → = b → e O C → = c → . Sendo 3 C D →   = 2 D A → e 2 A F →   =   F B → ,

  1. desenhe o tetraedro e localize D e F na figura;
  2. expresse D F → como combinação linear de a → , b → e c → .

Passo 1

  1. Vocês já devem tá ligados no que a gente tem que fazer não é? Isso mesmo, vamos começar com uma soma de vetores usando 3 C D →   = 2 D A → e 2 A F →   =   F B → para descobrir C D → e A F → :
  2. C A → = C D → + D A → = C D → + 3 2 C D → = 5 2 C D → ⇒ C D → = 2 5 C A →

    A B → = A F → + F B → = A F → + 2 A F → = 3 A F → ⇒ A F → = 1 3 A B →

    Com isso, vemos que D está a dois quintos do caminho entre C e A e F está a um terço do caminho entre A e B .

    Passo 2

  3. Olhando para a figura abaixo, vemos que

D F → = D A → + A F →

Já sabemos A F → = 1 3 A B → . Agora vamos tentar obter D A → . Temos

C A → = C D → + D A → ⇒ D A → = C A → - C D →

C D → = 2 5 C A → ⇒ D A → = C A → - C D → = C A → - 2 5 C A → = 3 5 C A →

Então, ficamos com

D F → = D A → + A F → = 3 5 C A → + 1 3 A B →

O último detalhe faltando é escrever C A → , A B → em termos de O A → = a → , O B → = b → e O C → = c → . Vamos lá!

C A → = C O → + O A → = - O C → + O A → = - c → + a →

A B → = A O → + O B → = - O A → + O B → = - a → + b →

Finalmente, substituímos esses valores em

D F → = 3 5 C A → + 1 3 A B → = 3 5 ( - c → + a → ) + 1 3 ( - a → + b → ) = 9 - 5 15 a → + 1 3 b → - 3 5 c → = 4 15 a → + 1 3 b → - 3 5 c →

D F → = 1 15 ( 4 a → + 5 b → - 9 c → )

Resposta

D F → = 1 15 ( 4 a → + 5 b → - 9 c → )