3 Considere o vetor 0 = (0, . . . , 0). Determine se é Verdadeiro ou Falso:
(a) como T(0) = 0 · 0, o número 0 é autovalor de T;
(b) como T(0) = λ · 0 = 0, o vetor 0 é autovetor de T.
(c) toda TL possui pelo menos um autovalor real;
(d) se uma TL possui núcleo diferente de 0, então possui um autovalor.
(e) se o espectro de uma TL é {2, 3, −1}, então é invertível.
Passo 1
Nesse passo, devemos relembrar as definições de autovetores e autovalores.
Seja A uma matriz n x n. Define-se como autovetor de A, um vetor v não-nulo, pertencente ao Rn, onde o produto A.v é um múltiplo escalar de v. Ou seja,
A v = v
O escalar que satisfaz a equação acima é o autovalor da matriz A
Relembrou?!
Passo 2
Analisando 1 a 1, vemos que a letra (a) é falsa, pois para ser autovalor o autovetor tem que ser não-nulo
Passo 3
Analisando agora a letra (b), devemos concluir que ela é falsa, pois autovetor tem que ser não-nulo.
Passo 4
Analisando a letra (c) devemos chegar à conclusão que é falso, tendo em vista que as rotações devem ser em , portanto, não será somente 1.
Passo 5
Analisando a letra(d), podemos constatar que ela é verdadeira, pois há o autovalor 0.
Passo 6
Finalmente, chegamos na letra (e), e analisando-a, podemos concluir que ela é verdadeira, pois como o 0 não é um Autovalor, ela é sim uma matriz invertível.
Resposta
- Falso
- Falso
- Falso
- Verdadeiro
- Verdadeiro