3 Considere o vetor 0 = (0, . . . , 0). Determine se é Verdadeiro ou Falso:

(a) como T(0) = 0 · 0, o número 0 é autovalor de T;

(b) como T(0) = λ · 0 = 0, o vetor 0 é autovetor de T.

(c) toda TL possui pelo menos um autovalor real;

(d) se uma TL possui núcleo diferente de 0, então possui um autovalor.

(e) se o espectro de uma TL é {2, 3, −1}, então é invertível.

Passo 1

Nesse passo, devemos relembrar as definições de autovetores e autovalores.

Seja A uma matriz n x n. Define-se como autovetor de A, um vetor v não-nulo, pertencente ao Rn, onde o produto A.v é um múltiplo escalar de v. Ou seja,

A v = v

O escalar que satisfaz a equação acima é o autovalor da matriz A

Relembrou?!

Passo 2

Analisando 1 a 1, vemos que a letra (a) é falsa, pois para ser autovalor o autovetor tem que ser não-nulo

Passo 3

Analisando agora a letra (b), devemos concluir que ela é falsa, pois autovetor tem que ser não-nulo.

Passo 4

Analisando a letra (c) devemos chegar à conclusão que é falso, tendo em vista que as rotações devem ser em R 2 , portanto, não será somente 1.

Passo 5

Analisando a letra(d), podemos constatar que ela é verdadeira, pois há o autovalor 0.

Passo 6

Finalmente, chegamos na letra (e), e analisando-a, podemos concluir que ela é verdadeira, pois como o 0 não é um Autovalor, ela é sim uma matriz invertível.

Resposta

  1. Falso
  2. Falso
  3. Falso
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro