Construa uma base ortonormal de orientação positiva tal que seja paralelo a e seja combinação linear de e . Dado , quais são as coordenadas de na base ?
Passo 1
E aí, galera? Tudo bem com vocês? Então vamos detonar mais uma questão!
Como tem que ser paralelo a e a base é ortonormal, ou seja, todos os vetores tem norma igual a , então
Para que seja combinação linear de e temos que escrevê-lo assim:
Por enquanto, não temos nenhuma informação adicional sobre o segundo vetor, então . Para que tenha orientação positiva, devemos ter
Vamos começar pela primeira relação . Para isso, vamos utilizar nosso velho amigo determinante:
Conseguimos o primeiro sistema de equações:
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No entanto, se olharmos bem, temos cinco variáveis e apenas três equações. Ou seja, precisamos de mais uma relação. Para isso, utilizaremos . Vamos lá:
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Passo 2
Ufa, fizemos os sistemas. Vamos trazer todas as equações do passo anterior para cá para facilitar nosso trabalho. Mas antes, vamos multiplicar ambos os lados por e organizar os termos :
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Vamos começar subtraindo a equação de :
e podemos comparar a equação acima com a equação
Então, podemos recuperar o valor de e substituir . Assim,
Mas, sabemos que o módulo de deve ser unitário. Ou seja,
Pronto, achamos uma parte da resposta:
Passo 3
Para finalizar, precisamos achar o valor de . Para isso, vamos manipular as equações e substituindo os valores de e
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Logo,
e a nossa base fica
Sim, o livro se confundiu!
Passo 4
E a finaleira vai para escrever o vetor nessa base que chamaremos de para simplificar. Para isso, precisamos de
e agora? Simples. Vamos utilizar o truque de multiplicar escalarmente por e . Ou seja,
Por outro lado, temos
Portanto,
E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!
Resposta
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