Construa uma base ortonormal de orientação positiva ( I → , J → , K → ) tal que I → seja paralelo a ( 1,1 , - 2 ) e K → seja combinação linear de ( 2,0 , 1 ) e ( - 1,3 , 4 ) . Dado v →   =   ( 4,1 , 2 ) , quais são as coordenadas de v → na base ( I → , J → , K → ) ?

Passo 1

E aí, galera? Tudo bem com vocês? Então vamos detonar mais uma questão!

Como I → tem que ser paralelo a ( 1,1 , - 2 ) e a base é ortonormal, ou seja, todos os vetores tem norma igual a 1 , então

I → = 1 6   ( 1,1 , - 2 )

Para que K → seja combinação linear de ( 2,0 , 1 ) e ( - 1,3 , 4 ) temos que escrevê-lo assim:

K → = α ( 2,0 , 1 ) + β ( - 1,3 , 4 ) = ( 2 α   - β , 3 β , α   +   4 β )

Por enquanto, não temos nenhuma informação adicional sobre o segundo vetor, então J → = ( x , y , z ) . Para que ( I → , J → , K → ) tenha orientação positiva, devemos ter

I → ∧ J → = K →

J → ∧ K → = I →

K → ∧ I → = J →

Vamos começar pela primeira relação I → ∧ J → = K → . Para isso, vamos utilizar nosso velho amigo determinante:

⎜                 i →                             j →                               k   →   ⎜

⎜           1 6                   1 6       - 2 6   ⎜ = ( z 6 + 2 y 6 ) i → - ( z 6 + 2 x 6 ) j → + ( y 6 - x 6 ) k →   = K →

⎜               x                             y                             z       ⎜

Conseguimos o primeiro sistema de equações:

( z 6 + 2 y 6 ) i → - ( z 6 + 2 x 6 ) j → + ( y 6 - x 6 ) k → = ( 2 α   - β , 3 β , α   +   4 β )

( 1 ) : z 6 + 2 y 6   =   2 α   -   β ; ( 2 ) : - z 6 - 2 x 6   =   3 β ; ( 3 ) : y 6 - x 6   = α   +   4 β  

No entanto, se olharmos bem, temos cinco variáveis e apenas três equações. Ou seja, precisamos de mais uma relação. Para isso, utilizaremos K → ∧ I → = J → . Vamos lá:

⎜                     i →                               j →                                 k   →               ⎜

⎜   2 α   - β             3 β                 α   +   4 β     ⎜ = ( x , y , z )  

⎜               1 6                   1 6           - 2 6               ⎜

⇒ [ - 6 β 6 - 1 6 ( α + 4 β ) ] i →   - [ - 2 6 ( 2 α - β ) - 1 6 (   α + 4 β ) ] j →   + [ 1 6 ( 2 α - β ) - 3 β 6 ] k →  

= ( x , y , z )

( 4 ) : - 6 β 6 - 1 6 ( α + 4 β )   =   x ;

( 5 ) :   2 6 ( 2 α - β ) + 1 6 (   α + 4 β )   =   y

( 6 ) :   1 6 ( 2 α - β ) - 3 β 6   =   z

Passo 2

Ufa, fizemos os sistemas. Vamos trazer todas as equações do passo anterior para cá para facilitar nosso trabalho. Mas antes, vamos multiplicar ambos os lados por 6 e organizar os termos :

( 1 ) :   z + 2 y   =   2 6 α   - 6 β ;

( 2 ) : - z - 2 x   =   3 6 β ;

( 3 ) :   y - x   = 6 α   +   4 6 β   ;

( 4 ) :   6 x   =   - 10 β - α ;

( 5 ) :   6 y   = 5 α + 2 β

( 6 ) :   6 z   =   2 α - 4 β

Vamos começar subtraindo a equação ( 4 ) de ( 5 ) :

( 5 )   -   ( 4 )   ⇒   6 y - 6 x = 5 α + 2 β + 10 β + α

⇒ y - x = 1 6 6 α + 1 6 12 β

e podemos comparar a equação acima com a equação ( 3 ) :

1 6 6 α + 1 6 12 β = 6 α   +   4 6 β

⇒ 6 α + 12 β = 6 α + 24 β

⇒ - 12 β =   0   ⇒   β = 0

Então, podemos recuperar o valor de K → e substituir β = 0 . Assim,

K → = ( 2 α   - β , 3 β , α   +   4 β )   =   α ( 2,0 , 1 )

Mas, sabemos que o módulo de K → deve ser unitário. Ou seja,

| K | → = 1   ⇒   α 2   ( 4 + 0 + 1 )   =   1   ⇒   α   =   1 5

Pronto, achamos uma parte da resposta:

K → = 1 5 ( 2,0 , 1 )

Passo 3

Para finalizar, precisamos achar o valor de J →   =   ( x , y , z ) . Para isso, vamos manipular as equações ( 4 ) , ( 5 )   e ( 6 ) substituindo os valores de β = 0 e   α   =   1 5

( 4 ) :   6 x   =   - 10 β - α   ⇒   6 x   =   - 1 5   ⇒   x   =   - 1 30 ;

( 5 ) :   6 y   = 5 α + 2 β   ⇒   6 y   = 5 5   ⇒   y   =   5 30  

( 6 ) :   6 z   =   2 α - 4 β ⇒   6 z   = 2 5   ⇒ z   =   2 30

Logo,

J →   =   ( x , y , z )   =   1 30 ( - 1,5 , 2 )

e a nossa base fica

( I → , J , →   K ) → = ( 1 6 ( 1,1 , - 2 ) ,   1 30 ( - 1,5 , 2 ) , 1 5   ( 2,0 , 1 )   )

Sim, o livro se confundiu!

Passo 4

E a finaleira vai para escrever o vetor v →   =   ( 4,1 , 2 ) nessa base ( I → , J , →   K ) → que chamaremos de B para simplificar. Para isso, precisamos de

v →   = ( x , y , z ) B   =   x I →   + y J →   + z K →  

e agora? Simples. Vamos utilizar o truque de multiplicar escalarmente por I → ,   J →   e K →   . Ou seja,

v →   ⋅   I →   =   x I →   ⋅ I →   + y J → ⋅ I →   + z K → ⋅ I →   =   x ⋅ 1

v →   ⋅   J →   =   y

v →   ⋅   K →   = z

Por outro lado, temos

x = v → ⋅ I →   = ( 4,1 , 2 ) ⋅ 1 6 ( 1,1 , - 2 ) = 1 6 ( 4 + 1 - 4 ) = 1 6

y = v → ⋅ J → = ( 4,1 , 2 ) ⋅ 1 30 ( - 1,5 , 2 ) = 1 30 ( - 4 + 5 + 4 ) = 5 30

z = v → ⋅ K →   = ( 4,1 , 2 ) ⋅ 1 5   ( 2,0 , 1 ) = 1 5   ( 8 + 0 + 2 ) = 10 5  

Portanto,

v →   = ( v → ⋅ I →   ) I →   + ( v →   ⋅ J →   ) J → + ( v → ⋅ K →   ) K →

⇒ v →   = 1 6 I →     + 5 30 J →   + 10 5 K →

⇒ v →   = ( 1 6 , 5 30 , 10 5 ) B

E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

( 1 6 ( 1,1 , - 2 ) ,   1 30 ( - 1,5 , 2 ) , 1 5   ( 2,0 , 1 )   ) ;

( 1 6 ,   5 30 ,   10 5 ) .