Construa uma matriz A não nula 3 × 3 tal que o vetor 1 - 2 1 é solução de Ax = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é construir uma 3 × 3 matriz diferente de zero A de tal forma que o vetor x = 1 - 2 1 seja uma solução de A x = 0

Fazendo A = A 1 A 2 A 3 , onde A 1 , A 2 , A 3 denota as colunas de A ordem 3 × 1 .

Colocando A j = a 1 j a 2 j a 3 j para j = 1,2 , 3 .

Como x = 1 - 2 1 é uma solução de A x = 0 , temos o seguinte sistema.

A 1 A 2 A 3 1 - 2 1 = 0

Passo 2

Então, simplificando

A 1 - 2 A 2 + A 3 = 0 a 11 a 21 a 31 - 2 a 12 a 22 a 32 + a 13 a 23 a 33 = 0 0 0 a 11 - 2 a 12 + a 13 = 0 … …  (1)  a 21 - 2 a 22 + a 23 = 0 a 31 - 2 a 32 + a 33 = 0 … … . ( 2 )

Por tentativa, se pegarmos a 11 = a 12 = a 13 = a ,   a 21 = a 22 = a 23 = b   e a 31 = a 32 = a 33 = c eles satisfazerem as equações (1), (2) e (3).

Assim, a matriz,

A   = A 1 A 2 A 3   = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33   = a a a b b b c c c

Portanto, todas as 3 × 3 matrizes diferentes de zero com todos os elementos em cada linha iguais são resolvidas a matriz A x = 0 onde x = 1 - 2 1

Claramente a matriz A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 com todos os elementos em cada linha iguais.

Então, a matriz A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 é uma matriz diferente de zero em que A x = 0 tem x = 1 - 2 1 como uma solução

Resposta

x = 1 - 2 1