Construa uma matriz A 2 × 2 tal que o conjunto solução da equação Ax = 0 é a reta em ℝ2 contendo (4, 1) e a origem. Depois, encontre um vetor b em ℝ2 tal que o conjunto solução de Ax = b não é uma reta em ℝ2 paralela ao conjunto solução de Ax = 0. Por que isto não contradiz o Teorema 6?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a equação

A x = 0 … … ( 1 )

Esta é uma linha de R 2 passagem ( 4,1 ) e origem onde A está qualquer 2 × 2 matriz.

Fazemos A = a b c d e x = x 1 x 2

Podemos reescrever o sistema (1) como

a b c d x 1 x 2 = 0 0

Como o sistema das equações,

a x 1 + b x 2 = 0 c x 1 + d x 2 = 0

Passo 2

O ponto ( 4,1 ) é uma solução de equação (1)

Então, x 1 = 4 , x 2 = 1   portanto,

a ⋅ 4 + b ⋅ 1 = 0 c ⋅ 4 + d ⋅ 1 = 0

Na resolução desses sistemas de equações, b = - 4 a , d = - 4 c

Fazemos a = 1 , c = 1

Assim, a = 1 , b = - 4 , c = 1 e d = - 4

Assim,

A = 1 - 4 1 - 4

Passo 3

Se a equação A x = b tem uma solução diferente de zero, então a equação é uma linha paralela à linha A x = 0 com a translação.

A equação A x = b não é paralela à linha A x = 0 se não tiver solução (que é solução vazia).

Se o vetor b não é um múltiplo da primeira coluna de matriz A , então a equação A x = b não tem solução (solução vazia).

De modo que b isso não seja formado traduzindo a solução de A x = b .

Isso não contradiz o Teorema 6, porque o teorema se aplica apenas a esse caso quando a equação A x = b tem um conjunto de solução não vazia.

Passo 4

Por exemplo,

Fazemos b = 2 2 como um múltiplo da primeira coluna de A ,

Resolva o sistema A x = b

1 - 4 1 - 4 x 1 x 2 = 2 2

Considerando a matriz aumentada,

1 - 4 2 1 - 4 2

Aplique a de operação da linha - 1 da primeira linha à segunda linha.

1 - 4 2 0 0 0

Este sistema é consistente e tem infinitamente muitas soluções.

Mas sabemos que é A x = b consistente, então é paralelo à equação homogênea A x = 0 .

Portanto, é necessário que b não seja um múltiplo da primeira coluna de matriz de A tal forma que a equação A x = b não seja paralela a A x = 0 .

Resposta

Resposta nos passos