Construa uma matriz A 2 × 2 tal que o conjunto solução da equação Ax = 0 é a reta em ℝ2 contendo (4, 1) e a origem. Depois, encontre um vetor b em ℝ2 tal que o conjunto solução de Ax = b não é uma reta em ℝ2 paralela ao conjunto solução de Ax = 0. Por que isto não contradiz o Teorema 6?
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Considere a equação
Esta é uma linha de passagem e origem onde está qualquer matriz.
Fazemos e
Podemos reescrever o sistema (1) como
Como o sistema das equações,
Passo 2
O ponto é uma solução de equação (1)
Então, portanto,
Na resolução desses sistemas de equações,
Fazemos
Assim, e
Assim,
Passo 3
Se a equação tem uma solução diferente de zero, então a equação é uma linha paralela à linha com a translação.
A equação não é paralela à linha se não tiver solução (que é solução vazia).
Se o vetor não é um múltiplo da primeira coluna de matriz , então a equação não tem solução (solução vazia).
De modo que isso não seja formado traduzindo a solução de .
Isso não contradiz o Teorema 6, porque o teorema se aplica apenas a esse caso quando a equação tem um conjunto de solução não vazia.
Passo 4
Por exemplo,
Fazemos como um múltiplo da primeira coluna de ,
Resolva o sistema
Considerando a matriz aumentada,
Aplique a de operação da linha da primeira linha à segunda linha.
Este sistema é consistente e tem infinitamente muitas soluções.
Mas sabemos que é consistente, então é paralelo à equação homogênea .
Portanto, é necessário que não seja um múltiplo da primeira coluna de matriz de tal forma que a equação não seja paralela a .
Resposta
Resposta nos passos