Construa sobre o conjunto E = {1, 2, 3, 4} quatro relações R 1 ,   R 2 ,   R 3   e   R 4 de modo que R 1 só tem a propriedade reflexiva, R 2 só a simétrica, r 3 só a transitiva e R 4 só a antissimétrica.

Sugestão: Faça os diagramas de flechas.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos no passou a passo, começando por R 1 , para que ela seja apenas reflexiva tem que apresentar os elementos (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4), porém se só tiver esses, apresentará todas as outras. Dessa maneira parar eliminarmos as outras propriedades, basta que coloquemos os elementos (1,2), (2,3) e (3,2)!

R 1 = { ( 1 ,   1 ) , ( 2 ,   2 ) , ( 3 ,   3 ) , ( 4 ,   4 ) ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   3 ) , ( 3 ,   2 ) }   .

Passo 2

R 2 deve ser só simétrica, então vamos botar duas duplas de simétricos que não sejam transitivos entre si:

R 2 =   { ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   1 ) , ( 1 ,   3 ) , ( 3 ,   1 ) } .

Passo 3

R 3 é transitivo, então vamos pegar R 2 e mudar um único elemento para que tira a simetria e ligue os elementos com a transitividade:

R 3 = { ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   3 ) , ( 1 ,   3 ) , ( 2 ,   1 ) } .

Passo 4

R 4 é antissimétrico, então é só fazermos uma escadinha de elementos da seguinte forma:

R 4 = { ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   3 ) , ( 3 ,   4 ) } .

Bora pro próximo!

Resposta

R 1 = { ( 1 ,   1 ) , ( 2 ,   2 ) , ( 3 ,   3 ) , ( 4 ,   4 ) ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   3 ) , ( 3 ,   2 ) }   .

R 2 =   { ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   1 ) , ( 1 ,   3 ) , ( 3 ,   1 ) } .

R 3 = { ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   3 ) , ( 1 ,   3 ) , ( 2 ,   1 ) } .

R 4 = { ( 1 ,   2 ) , ( 2 ,   3 ) , ( 3 ,   4 ) } .