Uma corda da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 6 z - 21 = 0 está contida na reta

x = y - 1

⎨ z = 2 - y . A corda sendo A B ̄ , determine os planos tangentes à superfície esférica nos pontos A e B .

Passo 1

Fala galerinha! Eu sei, o livro não disse o que era uma corda e agora está cobrando uma questão. Mas calma. Uma corda é uma medida entre duas extremidades da superfície de uma esfera, desde que essa medida não passe pelo centro, pois qualquer segmento que passa pelo centro é o diâmetro.

Então, vamos começar com o de sempre que é escrever a equação da superfície esférica na sua forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 6 z - 21 = 0

⇒ x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 - 2 y + 1 - 1 + z 2 - 6 z + 9 - 9 - 21 = 0

⇒ ( x - 2 ) 2 - 4 + ( y - 1 ) 2 - 1 + ( z - 3 ) 2 - 9 - 21 = 0

⇒ ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 35

ou seja, o centro é C =   ( 2,1 , 3 ) e o raio é r = 35 .

Temos que descobrir quais os pontos de interseção da reta com a superfície esférica. Então, vamos substituir os valores e resolver a equação:

( y - 1 - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( 2 - y - 3 ) 2 = 35

⇒ ( y - 3 ) 2 + y 2 - 2 y + 1 + ( - y - 1 ) 2 = 35

⇒ y 2 - 6 y + 9 + y 2 - 2 y + 1 + y 2 + 2 y + 1 = 35

⇒ 3 y 2 - 6 y - 24 = 0

⇒ y 2 - 2 y - 8 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

y   =   2   ±   4 + 32 2 =   2 ± 6 2   ⇒ y = 4   o u   y =   - 2

Com isso, conseguimos dois pontos de interseção. Para y = 4 :

A = ( y - 1 , y , 2 - y ) = ( 3,4 , - 2 )

Para y = - 2 :

B = ( y - 1 , y , 2 - y ) = ( - 3 , - 2,4 )

Passo 2

Como os planos que buscamos são tangentes à superfície da esfera, nos pontos A = ( 3,4 , - 2 ) e B = ( - 3 , - 2,4 ) . Então, podemos concluir que haverá um vetor C A → paralelo ao vetor normal do plano π e outro vetor B C → paralelo ao vetor normal do plano α , onde C =   ( 2,1 , 3 ) é o centro da esfera. Daí,

C A → = n π → ⇒ ( 3,4 , - 2 ) - ( 2,1 , 3 ) = n π → ⇒ n π → = ( 1,3 , - 5 )

B C → = n α → ⇒ ( 2,1 , 3 ) - ( - 3 , - 2,4 ) = n α → ⇒ n α → = ( 5,3 , - 1 )

Assim, temos dois planos, um passando por A = ( 3,4 , - 2 ) e outro passando por B = ( - 3 , - 2,4 ) , respectivamente, e que tem o seguinte formato:

x + 3 y - 5 z + d 1 = 0 ,

5 x + 3 y - z + d 2 = 0 .

Passo 3

Agora, só precisamos determinar d 1 e d 2 . Para isso, vamo substituir A = ( 3,4 , - 2 ) no primeiro plano e B = ( - 3 , - 2,4 ) no segundo plano.

Em A = ( 3,4 , - 2 ) :

1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 - 5 ⋅ ( - 2 ) + d 1 = 0   ⇒ d 1 =   - 25

Em B = ( - 3 , - 2,4 ) :

5 ⋅ ( - 3 ) + 3 ⋅ ( - 2 ) - 4 + d 2 = 0 ⇒ d 2 = 25

Então, os planos são

x + 3 y - 5 z - 25 = 0

5 x + 3 y - z + 25 = 0

Resposta

x + 3 y - 5 z - 25 = 0

5 x + 3 y - z + 25 = 0