Uma corda da superfície esférica está contida na reta
. A corda sendo , determine os planos tangentes à superfície esférica nos pontos e .
Passo 1
Fala galerinha! Eu sei, o livro não disse o que era uma corda e agora está cobrando uma questão. Mas calma. Uma corda é uma medida entre duas extremidades da superfície de uma esfera, desde que essa medida não passe pelo centro, pois qualquer segmento que passa pelo centro é o diâmetro.
Então, vamos começar com o de sempre que é escrever a equação da superfície esférica na sua forma reduzida:
ou seja, o centro é e o raio é .
Temos que descobrir quais os pontos de interseção da reta com a superfície esférica. Então, vamos substituir os valores e resolver a equação:
Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:
Com isso, conseguimos dois pontos de interseção. Para :
Para :
Passo 2
Como os planos que buscamos são tangentes à superfície da esfera, nos pontos e . Então, podemos concluir que haverá um vetor paralelo ao vetor normal do plano e outro vetor paralelo ao vetor normal do plano , onde é o centro da esfera. Daí,
Assim, temos dois planos, um passando por e outro passando por , respectivamente, e que tem o seguinte formato:
,
.
Passo 3
Agora, só precisamos determinar e . Para isso, vamo substituir no primeiro plano e no segundo plano.
Em :
Em :
Então, os planos são