No cubo A B C D A ' B ' C ' D ' , temos 3 A M →   = M D → e 2 D ' N → = N B ' → .

  1. Localize M e N na figura.
  2. Expresse M N → como combinação linear de u →   =   A B → , v →   =   A A ' → e w →   =   A D → .

Passo 1

  1. Pessoal, para localizar M e N na figura nós vamos, primeiramente, escrever as seguintes somas de vetores:
  2. A D → = A M → + M D →

    D ' B ' → = D ' N → + N B ' →

    Agora, vamos substituir 3 A M →   = M D → e 2 D ' N → = N B ' → nas expressões acima e resolver para A M → e D ' N → :

    A D → = A M → + M D → = A M → + 3 A M → = 4 A M → ⇒ A M → = 1 4 A D →

    D ' B ' → = D ' N → + N B ' → = D ' N → + 2 D ' N → = 3 D ' N → ⇒ D ' N → = 1 3 D ' B ' →

    Com isso, vemos que M está localizado a um quarto do caminho entre A e D e N está localizado a um terço do caminho entre D ' e B ' .

    Passo 2

  3. Para expressar M N → como combinação linear de u →   =   A B → , v →   =   A A ' → e w →   =   A D → , temos que notar que

M N → = M D → + D D ' → + D ' N →

Só precisamos determinar os vetores do lado direito da equação. Já sabemos que A M → = 1 4 A D → e D ' N → = 1 3 D ' B ' → , então

A D → = A M → + M D → ⇒ M D → = A D → - A M → = A D → - 1 4 A D → = 3 4 A D → = 3 4 w →

Agora, temos que determinar D D ' → . Para isso, temos que lembrar que lados paralelos de um cubo tem o mesmo comprimento, então D D ' → =   A A ' → = v → . Além disso, D ' B ' → é dado por soma de vetores

D ' B ' → = D ' A ' → + A ' B ' → = D A → + A B → = - w → + u →

⇒ D ' N → = 1 3 D ' B ' → = 1 3 ( - w → + u → )

Pronto, agora substituímos todos esses valores em:

M N → = M D → + D D ' → + D ' N → = 3 4 w → + v → + 1 3 ( - w → + u → ) = 9 - 4 12 w → + 1 3 u → + v → = 5 12 w → + 1 3 u → + v →

Resposta

b) M N → = 5 12 w → + 1 3 u → + v →