(c) T : R 3 → R 4 cujo núcleo seja dado pela parametrização

e a imagem seja solução do sistema

Passo 1

A primeira estratégia aqui simplesmente destruir essa questão, vai ser reescrever a transformação linear dada em função dos quatro variáveis do domínio, sendo:

T ( x , y , z , w ) = ( 0,0 , - x - y + z , - x - y + )

Desenvolvendo esse sistema, temos que o núcleo é gerado por (1,0,1) e (0,1,1). Além diss, a imagem é gerada pelo termo de dimensão 4, (0,0,1,1).

Passo 2

Ok Ok, mas o que isso significa? Bom, a transformação linear

T ( 1,0 , 1 ) = T ( 0,01 ) = 0

Como ainda não atingimos a dimensão da base R 3 , então, um alternativa é “completar” com uma coluna da matriz identidade, por exemplo, T(0,0,1)=(0,0,1,1).

Portanto, agora já sabemos que T em três vetores da base de apenas uma das bases de R 3 , mas isso já é suficiente, pois podemos determinar que

T x , y , z = ( 0,0 , - x - y + z , - x - y + z )

Resposta

T x , y , z = ( 0,0 , - x - y + z , - x - y + z )