Dada A = - 2 - 6 7 21 - 3 - 9 encontre uma solução não trivial de Ax = 0 por simples inspeção. [Sugestão: Pense na equação Ax = 0 como uma equação vetorial.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a matriz,

A = - 2 - 6 7 21 - 3 - 9

A gente precisa encontrar uma solução não trivial de A x = 0 por inspeção.

Por inspeção, a gente pode assumir que:

x = x 1 x 2

Observe que, na matriz A , a segunda coluna é 3 vezes a primeira coluna.

Então, escreva como forma vetorial,

x 1 - 2 7 - 3 + x 2 - 6 21 - 9 = 0

Assim, as respostas adequadas para x 1 , e, x 2 são - 3 , e, 1

Portanto, a única solução não trivial de A x = 0 é - 3 1 .

Passo 2

b) Por resolução A x = 0 :

Então, A x = 0 se torna:

- 2 - 6 7 21 - 3 - 9 x 1 x 2 = 0 0 0

Resolvendo o sistema da seguinte forma:

Formar uma matriz aumentada A 0 .

A 0 = - 2 - 6 0 7 21 0 - 3 - 9 0

Passo 3

Para obter a forma escalonada de linha reduzida da matriz, aplique as operações de linha.

Passo 1: Para obter um na primeira linha elemento coluna primeira, multiplique a terceira linha por - 1 , e, adicione a linha resultante à primeira linha. Então

- 2 - 6 0 7 21 0 - 3 - 9 0 R 1 → R 1 - R 3 1 3 0 7 21 0 - 3 - 9 0

Passo 2: Para obter zero na segunda linha, elemento primeira coluna, multiplique a primeira linha por - 7 , e, adicione a linha resultante à segunda linha. Então

1 3 0 7 21 0 - 3 - 9 0 R 2 → R 2 - 7 R 1 1 3 0 0 0 0 - 3 - 9 0

Passo 3: Para obter zero na terceira linha, elemento primeira coluna, multiplique a primeira linha por 3 e, adicione a linha resultante à terceira linha. Então

1 3 0 0 0 0 - 3 - 9 0 R 3 → R 3 + 3 R 1 1 3 0 0 0 0 0 0 0

A forma escalonada de linha reduzida da matriz aumentada é,

1 3 0 0 0 0 0 0 0

Passo 4

Portanto, a solução geral é:

x 1 = - 3 x 2 . 

Aqui, x 2 é uma variável livre.

Como vetor, a solução geral é:

x   = x 1 x 2   = - 3 x 2 x 2   = x 2 - 3 1

Portanto, a única solução não trivial A x = 0 de é - 3 1 .

Resposta

a) a única solução não trivial de A x = 0 é - 3 1 .

b) a única solução não trivial A x = 0 de é - 3 1 .