É dada uma base .
- Demonstre que é uma base.
- Resolva .
- Determine as coordenadas de na base .
Passo 1
- Galera, para demonstrar que é uma base, precisamos calcular o determinante desses vetores e verificar que ele é não nulo. Nesse caso, temos notar que temos três vetores e que é mais conveniente escrevê-los na base :
- Para resolver temos que entender a notação:
- Determinar as coordenadas de na base nada mais é que escrever esse vetor como combinação linear dos vetores da base :
Vamos calcular esse determinante? Bora lá!
Como o determinante é diferente de zero, então os vetores são l.i. e, logo, formam uma base.
Passo 2
Agora, comparamos as duas expressões:
Então, concluímos que , ou seja
Passo 3
Com isso, podemos comparar os dois lados da equação e obter o seguinte sistema de equações:
Somando as duas primeiras equações, obtemos
Agora, somando as duas últimas, obtemos
Substituindo e na segunda equação, obtemos
Por fim, substituímos esses valores na expressão que queríamos
Resposta
b)
c)