É dada uma base B = ( u → , v → , w → ) .

  1. Demonstre que C   =   ( u → + v → - w → , u → - v → + w → , - u → + v → + w → ) é uma base.
  2. Resolva ( x , y , z ) B = ( 1,3 , - 2 ) C .
  3. Determine as coordenadas de u → na base C .

Passo 1

  1. Galera, para demonstrar que C   =   ( u → + v → - w → , u → - v → + w → , - u → + v → + w → ) é uma base, precisamos calcular o determinante desses vetores e verificar que ele é não nulo. Nesse caso, temos notar que temos três vetores e que é mais conveniente escrevê-los na base B = ( u → , v → , w → ) :
  2. u → + v → - w → = ( 1,1 , - 1 ) B

    u → - v → + w → = ( 1 , - 1,1 ) B

    - u → + v → + w → = ( - 1,1 , 1 ) B

    Vamos calcular esse determinante? Bora lá!

    ⎜               1                           1         - 1       ⎜

    ⎜               1           -   1                       1       ⎜ = 1 ⋅ ( - 1 - 1 ) - 1 ⋅ ( 1 + 1 ) - 1 ⋅ ( 1 - 1 ) = - 4 ≠ 0

    ⎜ - 1                           1                       1       ⎜

    Como o determinante é diferente de zero, então os vetores são l.i. e, logo, formam uma base.

    Passo 2

  3. Para resolver ( x , y , z ) B = ( 1,3 , - 2 ) C temos que entender a notação:
  4. ( x , y , z ) B = x u → + y v → + z w →

    ( 1,3 , - 2 ) C = 1 ⋅ ( u → + v → - w → ) + 3 ⋅ ( u → - v → + w → ) - 2 ⋅ ( - u → + v → + w → )

    ( 1,3 , - 2 ) C = u → + v → - w → + 3 u → - 3 v → + 3 w → + 2 u → - 2 v → - 2 w →

    ( 1,3 , - 2 ) C = 6 u → - 4 v →

    Agora, comparamos as duas expressões:

    ( x , y , z ) B = ( 1,3 , - 2 ) C ⇒ x u → + y v → + z w → = 6 u → - 4 v →

    Então, concluímos que x = 6 ,   y = - 4 , z = 0 , ou seja

    ( x , y , z ) B = ( 6 , - 4,0 ) B

    Passo 3

  5. Determinar as coordenadas de u → na base C nada mais é que escrever esse vetor como combinação linear dos vetores da base C :

u → = a ( u → + v → - w → ) + b ( u → - v → + w → ) + c ( - u → + v → + w → )

u → = ( a + b - c ) u → + ( a - b + c ) v → + ( - a + b + c ) w →

Com isso, podemos comparar os dois lados da equação e obter o seguinte sistema de equações:

a + b - c = 1

a - b + c = 0

- a + b + c = 0

Somando as duas primeiras equações, obtemos

2 a = 1 ⇒ a = 1 2

Agora, somando as duas últimas, obtemos

2 c = 0 ⇒ c = 0

Substituindo a = 1 2 e c = 0 na segunda equação, obtemos

a - b + c = 0 ⇒ 1 2 - b + 0 = 0 ⇒ b = 1 2

Por fim, substituímos esses valores na expressão que queríamos

u → = 1 2 ( u → + v → - w → ) + 1 2 ( u → - v → + w → ) + 0 ( - u → + v → + w → ) = ( 1 2 , 1 2 , 0 ) C

Resposta

b) ( x , y , z ) B = ( 6 , - 4,0 ) B

c) u → = ( 1 2 , 1 2 , 0 ) C