Dada a função

f x = x + 5 | x + 5 | ,     a = - 5

ache cada limite, se existe:

a) lim x → a - ⁡ f ( x )

b) lim x → a + ⁡ f ( x )

c) lim x → a ⁡ f ( x )

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos ter que analisar nesta questão os limites laterais. Cada letra é um tipo de análise. Vamos usar um Passo para resolver cada letra. Vem comigo!

Passo 2

a) Quando o limite se aproxima pela esquerda, ele vem assumindo valores bem próximos de a , com a propriedade de que a < x . Para exemplificar, vamos escolher a = - 5,01 .

Assim, teríamos que

lim x → - 5,01 ⁡ f ( x ) = - 5,01 + 5 | - 5,01 + 5 | = - 0,01 | - 0,01 | = - 0,01 0,01 = - 1

Perceba que se eu escolher um valor mais próximo de - 5 , como - 5,00000001 , o que vai mudar será o valor do numerador e do denominador, mas a resposta final será a mesma. Então

lim x → a - ⁡ f ( x ) = - 1

Passo 3

b) Quando o limite se aproxima pela direita, ele vem assumindo valores bem próximos de a , com a propriedade de que a > x . Para exemplificar, vamos escolher a = - 4,99 .

Assim, teríamos que

lim x → - 4,99 ⁡ f ( x ) = - 4,99 + 5 | - 4,99 + 5 | = 0,01 | 0,01 | = 0,01 0,01 = 1

Perceba que se eu escolher um valor mais próximo de - 5 , como - 4 , 9999999999 , o que vai mudar será o valor do numerador e do denominador, mas a resposta final será a mesma. Então

lim x → a + ⁡ f ( x ) = 1

Passo 4

c) Como os limites laterais são diferentes, concluímos que o limite não existe. Assim:

∄   lim x → a ⁡ f x

Partiu próxima questão!

Resposta

a)

lim x → a - ⁡ f ( x ) = - 1

b)

lim x → a + ⁡ f ( x ) = 1

c)

∄   lim x → a ⁡ f ( x )