Dada a função

f x = 5 - 2 x - x 2 ,     a = 5 2

ache cada limite, se existe:

a) lim x → a - ⁡ f ( x )

b) lim x → a + ⁡ f ( x )

c) lim x → a ⁡ f ( x )

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos ter que analisar nesta questão os limites laterais. Cada letra é um tipo de análise. Vamos usar um Passo para resolver cada letra. Vem comigo!

Passo 2

a) Quando o limite se aproxima pela esquerda, ele vem assumindo valores bem próximos de a , com a propriedade de que a < x . Para exemplificar, vamos escolher a = 2,4999 .

Assim, teríamos que

lim x → 2,4999 ⁡ f x = 5 - 2 ⋅ 2,4999 - 2,4999 2 = 0,0002 - 2,4999 2

∴ lim x → 2,49999 ⁡ f x = 0,0141421 - 2,4999 2

Perceba que à medida que o valor de a diminui, o termo na raiz vai ficando menor, até o ponto que ele se torna desprezível e o termo fora da raiz vai convergindo para - 25 / 4 . Logo

lim x → 2,49999 ⁡ f x = - 25 4

Passo 3

b) Quando o limite se aproxima pela direita, ele vem assumindo valores bem próximos de a , com a propriedade de que a > x . Para exemplificar, vamos escolher a = 2,5001 .

Assim, teríamos que

lim x → 2,5001 ⁡ f x = 5 - 2 ⋅ 2 , 5001 - 2,5001 2 = 5 - 5,0002 - 2,5001 2

∴ lim x → 2,5001 ⁡ f x = - 0,0002 - 2,5001 2

Essa raiz negativa não é possível no conjunto dos números reais, logo, concluímos que o limite não existe. Assim

∄ lim x → a + ⁡ f ( x )

Passo 4

c) Como os limites laterais são diferentes, concluímos que o limite não existe. Assim:

∄   lim x → a ⁡ f x

Partiu próxima questão!

Resposta

a)

lim x → a - ⁡ f ( x ) = - 25 4

b)

∄ lim x → a + ⁡ f ( x )

c)

∄   lim x → a ⁡ f ( x )