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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 147

Dada a reta r :   x - 10 - 3 = y - 11 - 5 = - z + 2 - 4 e o ponto B   = ( 3,1 , 3 ) , determine em r dois pontos A e C tais que o triângulo A B C seja equilátero.

Passo 1

Galera,antes de começar, é mais conveniente a gente escrever as equações paramétricas:

  x - 10 - 3 = y - 11 - 5 = - z + 2 - 4 = t

⇒ x = 10 - 3 t ;   y = 11 - 5 t ;   z = 2 + 4 t

Como os pontos A e C pertencem à reta, então eles podem ser escritos como

A = ( 10 - 3 a , 11 - 5 a , 2 + 4 a )

C = ( 10 - 3 c , 11 - 5 c , 2 + 4 c )

Passo 2

Para que o triângulo A B C seja equilátero, os seus lados devem ter o mesmo tamanho. Ou seja, | A B → | = | A C → | = | C B → | . Além disso, os ângulos internos do triângulo são todos iguais a 60 ° , de modo que

1 2 = c o s   60 ° = A B → ⋅ A C → | A B → | | A C → |

Bora calcular esses vetores:

A B → = B - A = ( 3,1 , 3 ) - ( 10 - 3 a , 11 - 5 a , 2 + 4 a ) = ( - 7 + 3 a , - 10 + 5 a , 1 - 4 a )

A C → = C - A = ( 10 - 3 c , 11 - 5 c , 2 + 4 c ) - ( 10 - 3 a , 11 - 5 a , 2 + 4 a ) = ( c - a ) ( - 3 , - 5,4 )

C B → = B - C = ( 3,1 , 3 ) - ( 10 - 3 c , 11 - 5 c , 2 + 4 c ) = ( - 7 + 3 c , - 10 + 5 c , 1 - 4 c )

Agora, vamos calcular os módulos:

| A B → | = ( 3 a - 7 ) 2 + ( 5 a - 10 ) 2 + ( 4 a - 1 ) 2

| A B → | = 9 a 2 - 42 a + 49 + 25 a 2 - 100 a + 100 + 16 a 2 - 8 a + 1

| A B → | = 50 a 2 - 150 a + 150 = 50 ( a 2 - 3 a + 3 )

| A B → | = 5 2 ( a 2 - 3 a + 3 )

Então,

| C B → | = 5 2 ( c 2 - 3 c + 3 )

e

| A C → | = ( c - a ) 2 ( 9 + 25 + 16 ) = ( c - a ) 50 = 5 2 ( c - a )

Passo 3

Vamos começar utilizando a relação do produto escalar entre os vetores A B → e A C → . Mas, vamos separar as contas pra ficar mais fácil:

A B → ⋅ A C →   =   ( c - a ) [ ( - 7 + 3 a , - 10 + 5 a , 1 - 4 a ) ⋅ ( - 3 , - 5,4 ) ]

A B → ⋅ A C →   =   ( c - a ) ( 21 - 9 a   + 50 - 25 a   + 4 - 16 a )

A B → ⋅ A C →   =   ( c - a ) ( - 50 a   + 75 )

Agora sim, vamos lá

A B → ⋅ A C → | A B → | | A C → | = 1 2

⇒   ( c - a ) ( - 50 a   + 75 ) 5 2 ( a 2 - 3 a + 3 )   ⋅   5 2 ( c - a ) = 1 2

⇒ 50 ( c - a ) ( - 2 a   + 3 )   =   50 ( c - a ) a 2 - 3 a + 3

⇒ ( - 2 a   + 3 ) 2   = a 2 - 3 a + 3

⇒ 4 a 2 - 12 a + 9 - a 2 + 3 a - 3 = 0

⇒ 3 a 2 - 9 a + 6 = 0

⇒ a 2 - 3 a + 2 =   0

Ou seja, as raízes da equação do segundo grau, acima, são: a   =   2   o u   a   =   1 .

Para finalizar, sabemos que

| A B → | = | A C → |

Então,

5 2 ( a 2 - 3 a + 3 )   = 5 2 ( c - a )  

⇒ a 2 - 2 a + 3   =   c

Substituindo a   =   2 , temos

4 - 4 + 3   =   c   ⇒ c   =   3

Para a   =   1 , temos

1 - 2 + 3   =   c   ⇒ c   =   2

Passo 4

Para testar se os dois conjuntos valores estão corretos, vamos testar se | A B → | = | A C → | = | C B → | :

  • para a   =   2 e c   =   3 :

| A B → | = 5 2 ( a 2 - 3 a + 3 )   =   5 2 ( 4 - 6 + 3 )   =   5 2

| C B → | = 5 2 ( c 2 - 3 c + 3 ) = 5 2 ( 9 - 9 + 3 ) = 5 6

| A C → | = 5 2 ( c - a ) = 5 2

Para esse conjunto de valores, o triângulo não tem lados iguais. Então, vamos descartar essa solução.

  • para a   = 1 e c   =   2 :

| A B → | = 5 2 ( a 2 - 3 a + 3 )   =   5 2 ( 1 - 3 + 3 )   =   5 2

| C B → | = 5 2 ( c 2 - 3 c + 3 )   = 5 2 ( 4 - 6 + 3 )   =   5 2

A C → | = 5 2 ( c - a ) = 5 2

Portanto, os valores válidos são a   = 1 e c   =   2 . Assim, os pontos que buscamos são os seguintes:

A = ( 10 - 3 a , 11 - 5 a , 2 + 4 a )   =   ( 7,6 , 6 )

C = ( 10 - 3 c , 11 - 5 c , 2 + 4 c )   =   ( 4,1 , 10 )

Resposta

( 7,6 , 6 ) e   ( 4,1 , 10 )